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平面几何 v.s. 其他方法——谁才是王者？

Mon, 04 May 2026 16:17:42 GMT

好久没有写过文章啦！趁着这个五一小长假赶紧来弥补一下。。

序言#

前段时间我校科技节活动上我们高一年级举办了一场说数学比赛活动（本质上是讲题比赛），要求每班派一名讲题代表和一位同学作为智囊到现场抽取题目然后在十五分钟后按抽签顺序上台讲题，试题考察内容覆盖目前为止的全部高中所学，然后由几位评委老师给出分数，比赛结束后几天内老师们会综合各代表上台说数学的表现评定奖项（分为特等奖、一等奖、二等奖和三等奖）。

这里就不卖关子了，虽然我没有代表班级上台说数学，但是我作为我们班的智囊为上台代表提供辅助。当然，我们班最后拿到了唯二的特等奖之一！！！（我的功劳也少不了😊。

好了，进入正题：本次说数学活动总共十四题中我发现了五道颇有意思的平面几何题目，如此热爱平面几何的我就不得不抓住这次机会在比赛结束后要了份题目清单回去仔细琢磨这几道平面几何题，虽然说官方答案都不是纯平面几何的解法……（要么三角函数，要么建系或平面向量）但正因如此，这更加激发了我用纯平面几何法解出这几道题的兴趣。那么接下来请看题：

注意

前方高能预警！（可能涉及多种平面几何技巧及模型，但请一定要看到最后！！！尤其是第五题！）

有趣的题目们#

第一题#

题面#

如图，点PPP为∠BAC\angle BAC∠BAC内一点，∣PA∣=1|PA|=1∣PA∣=1，∠BAP=30°\angle BAP=30\degree∠BAP=30°，∠CAP=45°\angle CAP=45\degree∠CAP=45°，过点PPP作直线分别交射线AB,ACAB,ACAB,AC于D,ED,ED,E两点，则1∣PD∣+1∣PE∣\frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}∣PD∣1+∣PE∣1的最大值为__________.

第一题-题面

官方解法：三角法#

官方思路： 用正弦定理表示∣PD∣,∣PE∣|PD|,|PE|∣PD∣,∣PE∣，再结合辅助角公式求函数最大值。

设∠ADP=α,∠AEP=β\angle ADP=\alpha,\angle AEP=\beta∠ADP=α,∠AEP=β，则有

α+β=105°\alpha +\beta =105\degreeα+β=105°

在△ADP\triangle ADP△ADP中，由正弦定理得

1sin⁡α=∣PD∣sin⁡30°⇒1∣PD∣=2sin⁡α\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{|PD|}{\sin 30\degree}\Rightarrow\frac{1}{|PD|}=2\sin\alphasinα1=sin30°∣PD∣⇒∣PD∣1=2sinα

同理，在△AEP\triangle AEP△AEP中，有

1∣PE∣=2sin⁡β\frac{1}{|PE|}=\sqrt{2}\sin\beta∣PE∣1=2sinβ

所以

1∣PD∣+1∣PE∣=2sin⁡α+2sin⁡β=2sin⁡(105°−β)+2sin⁡β=(3+1)sin⁡(β+45°)≤3+1\begin{align} \frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}&=2\sin\alpha+\sqrt2\sin\beta\\ &=2\sin(105\degree-\beta)+\sqrt2\sin\beta\\ &=(\sqrt3+1)\sin(\beta+45\degree)\\ &\leq\sqrt3+1 \end{align}∣PD∣1+∣PE∣1=2sinα+2sinβ=2sin(105°−β)+2sinβ=(3+1)sin(β+45°)≤3+1

当且仅当β=45°\beta=45\degreeβ=45°时取等，即最终答案为3+1\sqrt3+13+1。

由上述步骤，我们不难看到三角法解决这道题的核心就是分别在两个小三角形中利用正弦定理将边化角，再通过角的条件结合辅助角公式便可轻松解出最终结果。这种解法固然简单，也容易想到，不过我还是要介绍我的平面几何解法！

Mine-平面几何法#

如下图，为了求1∣PD∣+1∣PE∣\frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}∣PD∣1+∣PE∣1的最大值，我们不得不将其从比值的形式转化为实际存在的线段的形式，正好题目中又给出了一条定长线段APAPAP，所以我们便可以借着这个便利来构造相似三角形，以便后续解题。

第一题-平面几何法

因此，我们可以在射线PDPDPD上取一点MMM，使得∠AMP=∠BAP=30°\angle AMP=\angle BAP=30\degree∠AMP=∠BAP=30°，同理在射线PEPEPE上取一点NNN，使得∠ANP=∠CAP=45°\angle ANP=\angle CAP=45\degree∠ANP=∠CAP=45°，连接AM,ANAM,ANAM,AN。

那么我们不难得到此图中有两对相似三角形：

△AMP∼△DAP,△ANP∼△EAP\triangle AMP\sim\triangle DAP,\qquad\triangle ANP\sim\triangle EAP△AMP∼△DAP,△ANP∼△EAP

于是我们可以得到线段间的比例关系，有

APPD=PMAP,APPE=PNAP\frac{AP}{PD}=\frac{PM}{AP},\hspace{2em}\frac{AP}{PE}=\frac{PN}{AP}PDAP=APPM,PEAP=APPN

由此再结合定长线段APAPAP，原式就可以进行如下转化：

1∣PD∣+1∣PE∣=APPD+APPE=PMAP+PNAP=MNAP\begin{align} \frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}&=\frac{AP}{PD}+\frac{AP}{PE}\\ &=\frac{PM}{AP}+\frac{PN}{AP}\\ &=\frac{MN}{AP} \end{align}∣PD∣1+∣PE∣1=PDAP+PEAP=APPM+APPN=APMN

这时候我们就成功地把原来的复杂表达式转化为了两条线段间的比值——你可能心生疑惑了，APAPAP不是长度为111的定长线段吗，为什么不继续把这个式子化简称MNMNMN呢？

诶，这就到了本解法最关键的一步了！因为其实我们会发现，如果将原式继续化简为单动线段MNMNMN的话，在△AMN\triangle AMN△AMN中其实我们是不太清楚点M,NM,NM,N是如何同时运动的，也就是说线段MNMNMN的两个端点都是动点，我们依旧不太好把握它何时取最值。而同时我们又可以注意到在该式化简之前的形式MNAP\frac{MN}{AP}APMN中还有另一条线段APAPAP，那么我们就可以考虑从这条线段下手，不再讨论线段MNMNMN了。

——那，如何做到呢？没错，根据相对运动思想，这时候动静互换就要出场了！

由线段MNMNMN和线段APAPAP一动一静，动静互换后变成线段MNMNMN为静线段，线段APAPAP为动线段，那么此时又因为△AMN\triangle AMN△AMN的形状已经确定（已知两定角），所以点AAA是定点！！如此一来，问题就迎刃而解了：要求MNAP\frac{MN}{AP}APMN的最大值，只需关注其会变化的分母的最小值，如何呢？当然是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短啊。

所以，我们可以知道当且仅当MN⊥APMN\perp APMN⊥AP时其长度比例MNAP\frac{MN}{AP}APMN取得最大值，且动静换回来也是一样的。接下来我们就只需讨论该比例取得最大值时各点线的情况了，那么在取最大值时，我们就有新的已知条件MN⊥APMN\perp APMN⊥AP了。

因而在Rt△APM\mathrm{Rt}\triangle APMRt△APM中，由∠AMP=30°\angle AMP=30\degree∠AMP=30°和AP=1AP=1AP=1，不难得到

PM=3PM=\sqrt3PM=3

同理，在Rt△APN\mathrm{Rt}\triangle APNRt△APN中，由∠ANP=45°\angle ANP=45\degree∠ANP=45°和AP=1AP=1AP=1，可以得到

PN=1PN=1PN=1

然后此时的线段MNMNMN的长度就已知了：

MN=PM+PN=3+1MN=PM+PN=\sqrt3+1MN=PM+PN=3+1

最终便可得到答案：

1∣PD∣+1∣PE∣=MNAP≤3+1\frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}=\frac{MN}{AP}\leq\sqrt3+1∣PD∣1+∣PE∣1=APMN≤3+1

小结一下，在这道题中，几何做法相较于传统三角法的计算量小了非常多，在我看来是一种非常不错的解法，只需简单构造两个相似三角形即可解出。

第二题#

题面#

（无图）在△ABC\triangle ABC△ABC中，AB=AC=2AB=AC=2AB=AC=2，∠BAC=90°\angle BAC=90\degree∠BAC=90°，D,ED,ED,E为边BCBCBC上两点，且∠DAE=45°\angle DAE=45\degree∠DAE=45°，则AD→⋅AE→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}AD⋅AE的最小值为__________.

官方解法：解析几何#

官方思路： 首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则及基本不等式求解数量积最小值即可。

第二题-解析几何

如图所示，以BCBCBC的中点OOO为原点，BCBCBC为xxx轴，射线OAOAOA为非负yyy轴建立平面直角坐标系，则有

B(−2,0),C(2,0),A(0,2)B(-\sqrt2,0),\qquad C(\sqrt2,0),\qquad A(0,\sqrt2)B(−2,0),C(2,0),A(0,2)

接下来不妨设点DDD在点EEE的左侧，并设D(x,0), E(y,0)D(x,0),\ E(y,0)D(x,0), E(y,0)，则由∠DAE=45°\angle DAE=45\degree∠DAE=45°，可知−2≤x≤0, 0≤y≤2-\sqrt2\leq x\leq0,\ 0\leq y\leq\sqrt2−2≤x≤0, 0≤y≤2，据此有

AD→=(x,−2),AE→=(y,−2)\overrightarrow{AD}=(x,-\sqrt2),\qquad\overrightarrow{AE}=(y,-\sqrt2)AD=(x,−2),AE=(y,−2)

则

AD→⋅AE→=xy+2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=xy+2AD⋅AE=xy+2

又因为tan⁡∠DAE=tan⁡(∠DAO+∠EAO)=tan⁡45°=1\tan\angle DAE=\tan(\angle DAO+\angle EAO)=\tan45\degree=1tan∠DAE=tan(∠DAO+∠EAO)=tan45°=1，所以

tan⁡∠DAO+tan⁡∠EAO1−tan⁡∠DAO⋅tan⁡∠EAO=−x2+y21−−x2⋅y2=1\frac{\tan\angle DAO+\tan\angle EAO}{1-\tan\angle DAO\cdot\tan\angle EAO}=\frac{\frac{-x}{\sqrt2}+\frac{y}{\sqrt2}}{1-\frac{-x}{\sqrt2}\cdot\frac{y}{\sqrt2}}=11−tan∠DAO⋅tan∠EAOtan∠DAO+tan∠EAO=1−2−x⋅2y2−x+2y=1

因此有

xy+2=2(y−x)⇒x=2y−22+yxy+2=\sqrt2(y-x)\Rightarrow x=\frac{\sqrt2y-2}{\sqrt2+y}xy+2=2(y−x)⇒x=2+y2y−2

将此式代回原式，得

AD→⋅AE→=xy+2=2y2−2y2+y+2=2y2+222+y\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=xy+2=\frac{\sqrt2y^2-2y}{\sqrt2+y}+2=\frac{\sqrt2y^2+2\sqrt2}{\sqrt2+y}AD⋅AE=xy+2=2+y2y2−2y+2=2+y2y2+22

再进行换元，令t=2+y∈[2,22]t=\sqrt2+y\in[\sqrt2,2\sqrt2]t=2+y∈[2,22]，则

AD→⋅AE→=2(t−2)2+22t=2t+42t−4≥22t⋅42t−4=42−4\begin{align} \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}&=\frac{\sqrt2{(t-\sqrt2)}^2+2\sqrt2}{t}\\ &=\sqrt2t+\frac{4\sqrt2}{t}-4\\ &\geq2\sqrt{\sqrt2t\cdot\frac{4\sqrt2}{t}}-4\\ &=4\sqrt2-4 \end{align}AD⋅AE=t2(t−2)2+22=2t+t42−4≥22t⋅t42−4=42−4

当且仅当2t=42t\sqrt2t=\frac{4\sqrt2}{t}2t=t42即t=2,y=2−2t=2,y=2-\sqrt2t=2,y=2−2时取等，故AD→⋅AE→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}AD⋅AE的最小值为42−44\sqrt2-442−4。

这是这道题的较为常规的解法，利用向量的坐标表示转化数量积问题，并在坐标系中直接地利用角度条件，思路直观清晰，虽稍有计算量，但这不影响此方法的实用性。

Mine-平面几何法#

如下图，虽然这个图形看着很复杂，但其实思路非常简明清晰：既然题目要求AD→⋅AE→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}AD⋅AE的最小值，那我们就先按照数量积的定义将其展开，即AD→⋅AE→=AD⋅AE⋅cos⁡∠DAE\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=AD\cdot AE\cdot\cos\angle DAEAD⋅AE=AD⋅AE⋅cos∠DAE，由此我们也不难联想到三角形的面积公式S△DAE=12AD⋅AEsin⁡∠DAES_{\triangle DAE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin\angle DAES△DAE=21AD⋅AEsin∠DAE，这时就非常巧了，我们将上述两式作比，便可以得到AD→⋅AE→=2S△DAEtan⁡∠DAE=2S△DAEtan⁡45°=2S△DAE\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=\frac{2S_{\triangle DAE}}{\tan\angle DAE}=\frac{2S_{\triangle DAE}}{\tan45\degree}=2S_{\triangle DAE}AD⋅AE=tan∠DAE2S△DAE=tan45°2S△DAE=2S△DAE，那么这时候这道题就显得非常简单了——因为后面就是探照灯模型的内容了！就此我们便可以很容易证出当且仅当DA=DEDA=DEDA=DE时△DAE\triangle DAE△DAE的面积有最小值，也即此时AD→⋅AE→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}AD⋅AE有最小值。

第二题-平面几何法

由于我们预想的结果是AD=AEAD=AEAD=AE时S△DAES_{\triangle DAE}S△DAE最小，那么先猜后证，将此特殊情况与其他一般情况做对比即可。因此，先在BCBCBC上取点D′,E′D',E'D′,E′，使得AD′=AE′AD'=AE'AD′=AE′且∠D′AE′=45°\angle D'AE'=45\degree∠D′AE′=45°（构造特殊情况），接下来如上图所示，我们可以先与点DDD在点D′D'D′右侧的一般情况做对比：

要比较图中△D′AE′\triangle D'AE'△D′AE′和△DAE\triangle DAE△DAE的面积大小，而我们又发现这两个三角形有重叠部分△DAE′\triangle DAE'△DAE′，所以我们可以先把这部分刨去，只关注它们各自独立的部分，意即我们只需要比较△DAD′\triangle DAD'△DAD′和EAE′EAE'EAE′的面积大小就行了，不难发现

∠D′AE′=∠DAE=45°⇓∠D′AE′−∠DAE′=∠DAE−∠DAE′⇓∠DAD′=∠EAE′\begin{align} \angle D'AE'&=\angle DAE=45\degree\\ &\Downarrow\\ \angle D'AE'-\angle DAE'&=\angle DAE-\angle DAE'\\ &\Downarrow\\ \angle DAD'&=\angle EAE' \end{align}∠D′AE′∠D′AE′−∠DAE′∠DAD′=∠DAE=45°⇓=∠DAE−∠DAE′⇓=∠EAE′

又因为

AD′=AE′AD'=AE'AD′=AE′

那么根据三角形面积公式的三角形式（两边夹一角），我们只需比较边ADADAD与AEAEAE的长度即可——但显然，为了严谨说明，我们不能直接从图中直接比较两条线段的长度。那我们可以考虑转变一下思维方向，能不能通过比较角的大小来间接比较边的长度呢？

当然是可以的！我们需要知道，在同一个三角形中还有一个基本公理，就是大边对大角，反过来大角对大边亦成立。那么在△DAE\triangle DAE△DAE中，为了比较边ADADAD和AEAEAE的大小，我们将其转化为比较∠AED\angle AED∠AED和∠ADE\angle ADE∠ADE的大小，有

{∠AED=∠AE′D′−∠EAE′,∠ADE=∠AD′E′+∠DAD′\left\{\begin{align} &\angle AED=\angle AE'D'-\angle EAE',\\ &\angle ADE=\angle AD'E'+\angle DAD' \end{align}\right.{∠AED=∠AE′D′−∠EAE′,∠ADE=∠AD′E′+∠DAD′

再结合其一旁的等腰△AD′E′\triangle AD'E'△AD′E′的性质，可得

∠AE′D′=∠AD′E′\angle AE'D'=\angle AD'E'∠AE′D′=∠AD′E′

由作差法，得

∠ADE−∠AED=(∠AD′E′+∠DAD′)−(∠AE′D′−∠EAE′)=∠DAD′+∠EAE′>0\begin{align} \angle ADE-\angle AED&=(\angle AD'E'+\angle DAD')-(\angle AE'D'-\angle EAE')\\ &=\angle DAD'+\angle EAE'\\ &>0 \end{align}∠ADE−∠AED=(∠AD′E′+∠DAD′)−(∠AE′D′−∠EAE′)=∠DAD′+∠EAE′>0

所以

∠AED<∠ADE\angle AED<\angle ADE∠AED<∠ADE

那么根据大边对大角，就可以知道

AD<AEAD<AEAD<AE

因而，当点DDD在点D′D'D′右侧时，有

S△D′AE′<S△DAES_{\triangle D'AE'}<S_{\triangle DAE}S△D′AE′<S△DAE

接着同理可证当点DDD在点D′D'D′左侧时该式依然成立，所以对于任意符合题目条件的点D,ED,ED,E，都满足

AD→⋅AE→=2S△DAE≥2S△D′AE′\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=2S_{\triangle DAE}\geq 2S_{\triangle D'AE'}AD⋅AE=2S△DAE≥2S△D′AE′

到这一步，本题就非常轻松了，现在的唯一目的是求出△D′AE′\triangle D'AE'△D′AE′的面积。如果是用几何解法的话，因为是在一个等腰直角三角形中，并且其直角顶角夹了一个45°45\degree45°角，那就可以考虑半角模型，在上图中即将△ACE′\triangle ACE'△ACE′顺时针旋转90°90\degree90°，得到△ABG\triangle ABG△ABG，除了可以容易证明∠GBD′=90°\angle GBD'=90\degree∠GBD′=90°之外，这时还有

AG=AE′,∠GAD′=∠E′AD′,AD′=AD′}⇒△AGD′≅△AE′D′\left.\begin{align} AG&=AE',\\ \angle GAD'&=\angle E'AD',\\ AD'&=AD' \end{align}\right\} \Rightarrow\triangle AGD'\cong\triangle AE'D'AG∠GAD′AD′=AE′,=∠E′AD′,=AD′⎭⎬⎫⇒△AGD′≅△AE′D′

所以，由GD′=D′E′,BG=CE′GD'=D'E',BG=CE'GD′=D′E′,BG=CE′和BD′=CE′BD'=CE'BD′=CE′，我们就把线段BD′,CE′BD',CE'BD′,CE′和D′E′D'E'D′E′都放到了同一个等腰Rt△GBD′\mathrm{Rt}\triangle GBD'Rt△GBD′中，因此不妨设

BD′=CE′=BG=xBD'=CE'=BG=xBD′=CE′=BG=x

则

GD′=D′E′=BC−BD′−CE′=22−2xGD'=D'E'=BC-BD'-CE'=2\sqrt2-2xGD′=D′E′=BC−BD′−CE′=22−2x

由等腰直角三角形的性质，有

GD′=2BG⇒22−2x=2xGD'=\sqrt2BG\Rightarrow2\sqrt2-2x=\sqrt2xGD′=2BG⇒22−2x=2x

于是可以解得

x=22−2,D′E′=4−22x=2\sqrt2-2,\qquad D'E'=4-2\sqrt2x=22−2,D′E′=4−22

此时我们将△D′AE′\triangle D'AE'△D′AE′中D′E′D'E'D′E′所对的高AHAHAH作出来，不难得到AH=2AH=\sqrt2AH=2，于是

S△D′AE′=12D′E′⋅AH=12×(4−22)×2=22−2S_{\triangle D'AE'}=\frac{1}{2}D'E'\cdot AH=\frac{1}{2}\times(4-2\sqrt2)\times\sqrt2=2\sqrt2-2S△D′AE′=21D′E′⋅AH=21×(4−22)×2=22−2

最后我们便可得到

AD→⋅AE→≥2S△D′AE′=42−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}\geq2S_{\triangle D'AE'}=4\sqrt2-4AD⋅AE≥2S△D′AE′=42−4

到此这道题的两种解法就介绍完啦，别看几何法好像过程很多，但是作为一道选填的话，只要我们思路足够清晰，真正的计算量是非常少的，可以很快速地得到答案！！以上的叙述只是确保说明的严谨性与完整度。

第三题#

题面#

（无图）已知△ABC\triangle ABC△ABC中，点DDD在边BCBCBC上，∠ADB=120°\angle ADB=120\degree∠ADB=120°，AD=2AD=2AD=2，CD=2BDCD=2BDCD=2BD。当ACAB\frac{AC}{AB}ABAC取得最小值时，BDBDBD的长度为__________.

官方解法：三角法#

官方思路： 用余弦定理表示AB,ACAB,ACAB,AC，并结合基本不等式求出其取等情况。

第三题-三角法

如上图，设CD=2BD=2m>0CD=2BD=2m>0CD=2BD=2m>0，则在△ABD\triangle ABD△ABD中，有

AB2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cos⁡∠ADB=m2+4+2mAB^2=BD^2+AD^2-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle ADB=m^2+4+2mAB2=BD2+AD2−2BD⋅AD⋅cos∠ADB=m2+4+2m

在△ACD\triangle ACD△ACD中，有

AC2=CD2+AD2−2CD⋅AD⋅cos⁡∠ADC=4m2+4−4mAC^2=CD^2+AD^2-2CD\cdot AD\cdot\cos\angle ADC=4m^2+4-4mAC2=CD2+AD2−2CD⋅AD⋅cos∠ADC=4m2+4−4m

所以

(ACAB)2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(m+1)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23\begin{align} {\Big(\frac{AC}{AB}\Big)}^2&=\frac{4m^2+4-4m}{m^2+4+2m}\\ &=\frac{4(m^2+4+2m)-12(m+1)}{m^2+4+2m}\\ &=4-\frac{12}{(m+1)+\frac{3}{m+1}}\\ &\geq4-\frac{12}{2\sqrt{(m+1)\cdot\frac{3}{m+1}}}\\ &=4-2\sqrt3 \end{align}(ABAC)2=m2+4+2m4m2+4−4m=m2+4+2m4(m2+4+2m)−12(m+1)=4−(m+1)+m+1312≥4−2(m+1)⋅m+1312=4−23

当且仅当m+1=3m+1m+1=\frac{3}{m+1}m+1=m+13即m=3−1m=\sqrt3-1m=3−1时取等，所以当ACAB\frac{AC}{AB}ABAC取得最小值时m=3−1m=\sqrt3-1m=3−1，即

BD=3−1BD=\sqrt3-1BD=3−1

由上述步骤，我们不难发现这道题的常规三角函数解法计算量并不算大，并且较为便捷、直接。那接下来再对比一下几何解法（做好心理准备。

Mine-平面几何法#

如下图，由题可知线段ADADAD长度确定，但其在△ABC\triangle ABC△ABC内部，不太方便处理，所以可以考虑将其转化为另一个三角形的底边以获得更充分的利用，即通过相似三角形进行转化。最后问题可以变为共动点顶点的两条线段的比值最值问题，那么就可以使用反演变换构造新的相似三角形对其进行进一步转化，从而继续将两条动线段转化为一条动线段并解决问题。（本质即双动线段比例最值问题，可参考这篇往期文章。）

第三题-平面几何法-1

如前文所述，第一步我们应该转化定长线段ADADAD这一条件，定长转化到一个三角形的底边上。因此我们可以考虑过点BBB作ACACAC的平行线交ADADAD的延长线于点GGG，思路类似倍长中线，只不过把全等三角形换位相似三角形了——由CD=2BDCD=2BDCD=2BD可以得到

△ADC∼△GDB⇒{AG=32AD=3,AC=2BG\triangle ADC\sim\triangle GDB\Rightarrow \left\{\begin{align} &AG=\frac{3}{2}AD=3,\\ &AC=2BG \end{align}\right.△ADC∼△GDB⇒⎩⎨⎧AG=23AD=3,AC=2BG

此时我们不仅将定长线段转化到了底边上，同时还转化了所求比值：

ACAB=2BGAB\frac{AC}{AB}=\frac{2BG}{AB}ABAC=AB2BG

其中BG,ABBG,ABBG,AB就是所谓的共动点顶点的两条线段，而此两者另一段点均为定点，因此可以使用前文提及的双动线段比例最值问题模型来解决（有需要系统研究的真的可以参考这篇往期文章）。虽然图形看上去复杂，但该模型的核心依然是构造相似三角形对线段比例进行转化，将两动变为一定一动。

为此，我们可以构造“母子相似”三角形，即在射线ABABAB上取一点KKK并连接GKGKGK，使得∠AGK=∠ABG\angle AGK=\angle ABG∠AGK=∠ABG，则由这一组角相等和一组公共角∠BAG\angle BAG∠BAG，可以得到一组相似三角形：

△BAG∼△GAK\triangle BAG\sim\triangle GAK△BAG∼△GAK

由此不难得到

ACAB=2BGAB=2GKAG=23GK\frac{AC}{AB}=\frac{2BG}{AB}=\frac{2GK}{AG}=\frac{2}{3}GKABAC=AB2BG=AG2GK=32GK

同时可以得到新构造的点KKK的一些信息：

ABAG=AGAK⇒AB⋅AK=AG2=9\frac{AB}{AG}=\frac{AG}{AK}\Rightarrow AB\cdot AK=AG^2=9AGAB=AKAG⇒AB⋅AK=AG2=9

此时我们便把点KKK和已知轨迹的点BBB联系了起来。但因为我们已经把原式转化为了23GK\frac{2}{3}GK32GK，而且点GGG是一个定点，那么我们只需把点KKK的运动轨迹求出来即可。该怎么办呢？没错，定积定角，反演变换（想要进一步了解的可以看往期这篇介绍反演变换的文章）！这就是典型的线生圆模型！正如上图，只需过点AAA向BCBCBC作垂交于点HHH，再过点KKK作AKAKAK的垂线交刚才所作的AHAHAH的延长线于点WWW。此时不难发现图中有了新的一组“反A相似”三角形：

△ABH∼△AWK\triangle ABH\sim\triangle AWK△ABH∼△AWK

由此我们也可以得到AB⋅AKAB\cdot AKAB⋅AK的另一表示方式：

ABAW=AHAK⇒AB⋅AK=AH⋅AW\frac{AB}{AW}=\frac{AH}{AK}\Rightarrow AB\cdot AK=AH\cdot AWAWAB=AKAH⇒AB⋅AK=AH⋅AW

将此式与我们得到的上一条等式等量代换，便可得

AH⋅AW=9AH\cdot AW=9AH⋅AW=9

那这条等式有什么用呢？别急，我们仔细分析，其实会发现其中线段AHAHAH的长度是定值：只需在Rt△ADH\mathrm{Rt}\triangle ADHRt△ADH中，由∠DAH=30°\angle DAH=30\degree∠DAH=30°便可得出

AH=AD⋅cos⁡∠DAH=2cos⁡30°=3AH=AD\cdot\cos\angle DAH=2\cos30\degree=\sqrt3AH=AD⋅cos∠DAH=2cos30°=3

如此一来，线段AWAWAW的长度和位置也都确定了：

AW=9AH=93=33AW=\frac{9}{AH}=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3AW=AH9=39=33

又因为∠AKW=90°\angle AKW=90\degree∠AKW=90°，所以不难得出点KKK的运动轨迹为以线段AWAWAW为直径的圆！且其半径可以算出为323\frac{3}{2}\sqrt3233。那么连接OK,OGOK,OGOK,OG，在△OGK\triangle OGK△OGK中由三角形三边关系可知GKGKGK最短时点KKK应在点GGG左侧且K,G,OK,G,OK,G,O三点共线，如下图所示。

第三题-平面几何法-2

现在问题就转化为了求此图中线段BDBDBD的长度。再仔细观察一下这幅图，可以发现∠AOG\angle AOG∠AOG很像是90°90\degree90°的样子，如果真是那就可以极大地简化导边步骤，所以可以先尝试证明一下其为直角——巧了！如果我们利用上已知的边长，那么刚好两边夹一角，可以证明一组相似三角形：

ADAG=AHAO=23,∠DAH=∠GAO}⇒△DAH∼△GAO\left.\begin{align} \frac{AD}{AG}=\frac{AH}{AO}=\frac{2}{3},\\ \angle DAH=\angle GAO \end{align}\right\} \Rightarrow\triangle DAH\sim\triangle GAOAGAD=AOAH=32,∠DAH=∠GAO⎭⎬⎫⇒△DAH∼△GAO

于是

∠AOG=∠AHD=90°\angle AOG=\angle AHD=90\degree∠AOG=∠AHD=90°

惊奇的是，又由于同一个圆内的半径长度相等，即OA=OKOA=OKOA=OK，我们证明了△KAO\triangle KAO△KAO是等腰直角三角形！那么就应该有

∠BAH=∠KAO=45°\angle BAH=\angle KAO=45\degree∠BAH=∠KAO=45°

又因为AH⊥BCAH\perp BCAH⊥BC，所以△BAH\triangle BAH△BAH也是一个等腰直角三角形，即有AH=BHAH=BHAH=BH，如此下来，线段BDBDBD的长度就可以轻松求出啦：

BD=BH−DH=AH−DH=3−1BD=BH-DH=AH-DH=\sqrt3-1BD=BH−DH=AH−DH=3−1

看到这里，想必大家一定有点疑惑：这道题用代数解法如此简单，为什么还要研究纯平面几何的解法呢？那是因为几何法在我个人看来是比较有趣的，且可操作性非常高，也是真的可以锻炼我们思维能力的一种有效方式。不过若是在正式考场上，则还是建议使用代数法减少思考时间和步骤书写时间（其实这个几何法只是图看着复杂点，基本上没有计算量，就是写过程麻烦些，选填就可以随便用）。

第四题#

题面#

（无图）在△ABC\triangle ABC△ABC中，角A,B,CA,B,CA,B,C所对的边分别为a,b,ca,b,ca,b,c，DDD是ABABAB的中点，若CD=1CD=1CD=1，且(a−12b)sin⁡A=(c+b)(sin⁡C−sin⁡B)(a-\frac{1}{2}b)\sin A=(c+b)(\sin C-\sin B)(a−21b)sinA=(c+b)(sinC−sinB)，则当ababab取最大值时△ABC\triangle ABC△ABC的周长为__________.

官方解法：三角法#

官方思路： 典型解三角形题目，先用余弦定理得到边与边之间的部分关系，再用正弦定理将条件角化边，最后利用基本不等式探究所求式最值及其取等条件。

第四题-三角法

如上图，设∠CDA=θ\angle CDA=\theta∠CDA=θ，则∠CDB=π−θ\angle CDB=\pi-\theta∠CDB=π−θ，在△CDA\triangle CDA△CDA和△CDB\triangle CDB△CDB中分别应用余弦定理，可得

cos⁡θ=c24+1−b2c,cos⁡(π−θ)=c24+1−a2c\cos\theta=\frac{\frac{c^2}{4}+1-b^2}{c},\qquad\cos(\pi-\theta)=\frac{\frac{c^2}{4}+1-a^2}{c}cosθ=c4c2+1−b2,cos(π−θ)=c4c2+1−a2

又因为

cos⁡θ+cos⁡(π−θ)=0\cos\theta+\cos(\pi-\theta)=0cosθ+cos(π−θ)=0

所以整理可得

c2=2(a2+b2)−4c^2=2(a^2+b^2)-4c2=2(a2+b2)−4

由此我们得到了关于大三角形三边的一条等式了（其实这一步也可以通过中线长定理一步实现，不过余弦定理是其本质），接下来由(a−12b)sin⁡A=(c+b)(sin⁡C−sin⁡B)(a-\frac{1}{2}b)\sin A=(c+b)(\sin C-\sin B)(a−21b)sinA=(c+b)(sinC−sinB)及正弦定理，得

(a−12b) a=(c+b)(c−b)(a-\frac{1}{2}b)\ a=(c+b)(c-b)(a−21b) a=(c+b)(c−b)

整理即

a2+b2−c2=ab2a^2+b^2-c^2=\frac{ab}{2}a2+b2−c2=2ab

结合上一步得到的等式，可得

a2+b2+ab2=4a^2+b^2+\frac{ab}{2}=4a2+b2+2ab=4

又由基本不等式a2+b2≥2aba^2+b^2\geq 2aba2+b2≥2ab，当且仅当a=ba=ba=b时取等，有

4≥2ab+ab2=5ab24\geq 2ab+\frac{ab}{2}=\frac{5ab}{2}4≥2ab+2ab=25ab

解得

ab≤85ab\leq\frac{8}{5}ab≤58

即a=b=2105a=b=\frac{2\sqrt{10}}{5}a=b=5210时取等，此时

c2=2(85+85)−4=125⇒c=2155c^2=2(\frac{8}{5}+\frac{8}{5})-4=\frac{12}{5}\Rightarrow c=\frac{2\sqrt{15}}{5}c2=2(58+58)−4=512⇒c=5215

综上所述，当ababab取最大值时△ABC\triangle ABC△ABC的周长为

C△ABC=410+2155C_{\triangle ABC}=\frac{4\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{5}C△ABC=5410+215

此三角法考查较为综合，涵盖余弦定理和正弦定理，并同时考查了基本不等式，为常规解法。当然以下我会带来计算量稍小的平面几何解法。

Mine-平面几何法#

首先声明一下，此题不适宜使用纯几何做法！毕竟题干中那一条三角相关的等式还是借助正余弦定理来转化会好一些，此题的平面几何方法仅限该等式转化后的步骤。

如下图，这种题在初中也很常见，可以转化为一道很经典的面积最值问题~~（当然经常做这类题的同学都知道最值应该在其为以定边为底的等腰三角形时取到）~~，这思路有点类似前文第二题（将数量积转化为面积），这里则是将单纯的边长乘积结合其夹的定角转化为三角形的面积问题，最后即通过动点的运动轨迹证明出何时取最大值；另一方面，这题与前文第三题也有相似之处，同样是作平行线将处在△CAB\triangle CAB△CAB内部的定长线段CDCDCD转化为底边，但由于点DDD是边BCBCBC的中点，所以这种做法在这里还有一个特殊的名字：倍长中线。

第四题-平面几何法

首先我们转化一下题目中的三角等式条件，同样是正弦定理角化边，得

(a−12b) a=(c+b)(c−b)(a-\frac{1}{2}b)\ a=(c+b)(c-b)(a−21b) a=(c+b)(c−b)

整理可得

a2+b2−c2=ab2a^2+b^2-c^2=\frac{ab}{2}a2+b2−c2=2ab

接下来由余弦定理的推论，有

cos⁡∠ACB=a2+b2−c22ab=ab22ab=14\cos\angle ACB=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{ab}{2}}{2ab}=\frac14cos∠ACB=2aba2+b2−c2=2ab2ab=41

既然我们已经将三角等式的条件转化为了∠ACB\angle ACB∠ACB的大小，那现在就按照倍长中线思路，如上图，延长CDCDCD至点GGG，使得DG=CDDG=CDDG=CD，连接AGAGAG，则我们不难通过边角边证明出一组全等三角形：

CD=GD,∠CDB=∠GDA,AD=BD}⇒△CDB≅△GDA\left.\begin{align} CD&=GD,\\ \angle CDB&=\angle GDA,\\ AD&=BD \end{align}\right\} \Rightarrow\triangle CDB\cong\triangle GDACD∠CDBAD=GD,=∠GDA,=BD⎭⎬⎫⇒△CDB≅△GDA

此时我们便会发现ababab与一个底边确定的△AGC\triangle AGC△AGC的面积成正比，于是ababab取最大值可转化为S△AGCS_{\triangle AGC}S△AGC取最大值：

ab=12absin⁡∠ACB12sin⁡∠ACB=2S△ACBsin⁡∠ACB=2S△AGCsin⁡∠ACB⇒ab∝S△AGCab=\frac{\frac12ab\sin\angle ACB}{\frac12\sin\angle ACB}=\frac{2S_{\triangle ACB}}{\sin\angle ACB}=\frac{2S_{\triangle AGC}}{\sin\angle ACB}\Rightarrow ab\propto S_{\triangle AGC}ab=21sin∠ACB21absin∠ACB=sin∠ACB2S△ACB=sin∠ACB2S△AGC⇒ab∝S△AGC

注意上式中sin⁡∠ACB\sin\angle ACBsin∠ACB为定值，但其实我们不需要求出其具体值，只需知道它是一个常数即可，因为我们所求的不是ababab的最大值，而是在其取最大值的状态下△ABC\triangle ABC△ABC的周长。接下来，为了得到点AAA的运动轨迹，我们继续利用刚才的全等三角形，有

∠DCB=∠DGA⇒BC∥AG\angle DCB=\angle DGA\Rightarrow BC\parallel AG∠DCB=∠DGA⇒BC∥AG

因此

∠GAC+∠ACB=180°⇒cos⁡∠GAC=−cos⁡∠ACB=−14\angle GAC+\angle ACB=180\degree\Rightarrow\cos\angle GAC=-\cos\angle ACB=-\frac14∠GAC+∠ACB=180°⇒cos∠GAC=−cos∠ACB=−41

至此我们会发现在△GAC\triangle GAC△GAC中存在定边GCGCGC和定角∠GAC\angle GAC∠GAC，那么根据初中数学知识，我们不难分析出点AAA是在一个定圆上运动的，正如上图所示。如果我们把△AGC\triangle AGC△AGC中GCGCGC边上的高AHAHAH作出来，就可知当且仅当点AAA为GC⌢\overset{\Huge\frown}{GC}GC⌢的中点即AC=AGAC=AGAC=AG时，AHAHAH取得最大值，又因为底边GCGCGC为定长线段，故△GAC\triangle GAC△GAC的面积此时也取得最大值，再由ababab正比与△GAC\triangle GAC△GAC的面积，我们可知当且仅当AC=AGAC=AGAC=AG即AC=BCAC=BCAC=BC时ababab取最大值！那接下来就是解三角形的时刻了，我们不难在△AGC\triangle AGC△AGC中解出（可用余弦定理列方程求解，具体过程就不写了，不属于纯几何板块😓）：

AG=AC=2105⇒AB=AC=2105AG=AC=\frac{2\sqrt{10}}{5}\Rightarrow AB=AC=\frac{2\sqrt{10}}{5}AG=AC=5210⇒AB=AC=5210

再在△ACB\triangle ACB△ACB中，已知两边夹一角，也可以由余弦定理解得对边

AB=2155AB=\frac{2\sqrt{15}}{5}AB=5215

所以当ababab取最大值时，△ABC\triangle ABC△ABC的周长为

C△ABC=AB+AC+AB=410+2155C_{\triangle ABC}=AB+AC+AB=\frac{4\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{5}C△ABC=AB+AC+AB=5410+215

综上所述，我认为虽然此题可以用几何做法来解决，但其优势并没有很明显，仅为有一个明确的方向、更加清晰的思路，计算量在这一道题中并没有体现出量级的优势，并且在开始和结束时并非纯几何法，不过着实可以减少一些不等式、方程间的代换。所以我给这道题的评价是可以酌情使用自己擅长的解法来解决，不必追求几何法（这道题的设计初衷也不是为了几何法来的。。），将此题放在这篇文章中的目的仅为说明其不必全过程代数，是可以有直观解释的。

第五题#

题面#

（无图）已知△ABC\triangle ABC△ABC面积为111，边AC,ABAC,ABAC,AB上的中线为BD,CEBD,CEBD,CE，且BD=2CEBD=2CEBD=2CE，则边ABABAB长度的最小值为__________.

官方解法：三角法#

官方思路： 利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入∠BGC=θ\angle BGC=\theta∠BGC=θ，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求BEBEBE边，最后转化为角的函数来求最值即可。

第五题-三角法

如上图，设BDBDBD交CECECE于点GGG，依题意得点GGG为△ABC\triangle ABC△ABC的重心。由BD=2CEBD=2CEBD=2CE，设GE=x,∠BGC=θGE=x,\angle BGC=\thetaGE=x,∠BGC=θ，则CG=2x,BD=6x,BG=4x,DG=2xCG=2x,BD=6x,BG=4x,DG=2xCG=2x,BD=6x,BG=4x,DG=2x。再来表示△BGC\triangle BGC△BGC的面积：

S△BGC=23S△BDC=23⋅12S△ABC=13S_{\triangle BGC}=\frac23S_{\triangle BDC}=\frac23\cdot\frac12S_{\triangle ABC}=\frac13S△BGC=32S△BDC=32⋅21S△ABC=31

又因为

S△BGC=12BG⋅CGsin⁡θ=12⋅4x⋅2xsin⁡θ=4x2sin⁡θS_{\triangle BGC}=\frac12BG\cdot CG\sin\theta=\frac12\cdot4x\cdot2x\sin\theta=4x^2\sin\thetaS△BGC=21BG⋅CGsinθ=21⋅4x⋅2xsinθ=4x2sinθ

所以

4x2sin⁡θ=13⇒x2=112sin⁡θ4x^2\sin\theta=\frac13\Rightarrow x^2=\frac{1}{12\sin\theta}4x2sinθ=31⇒x2=12sinθ1

由余弦定理，知

BE2=x2+(4x)2−2x⋅4x(−cos⁡θ)=17⋅112sin⁡θ+8cos⁡θ⋅112sin⁡θ=17+8cos⁡θ12sin⁡θ\begin{align} BE^2&=x^2+{(4x)}^2-2x\cdot4x(-\cos\theta)\\ &=17\cdot\frac{1}{12\sin\theta}+8\cos\theta\cdot\frac{1}{12\sin\theta}\\ &=\frac{17+8\cos\theta}{12\sin\theta} \end{align}BE2=x2+(4x)2−2x⋅4x(−cosθ)=17⋅12sinθ1+8cosθ⋅12sinθ1=12sinθ17+8cosθ

此时进行换元，令t=17+8cos⁡θ12sin⁡θ>0t=\frac{17+8\cos\theta}{12\sin\theta}>0t=12sinθ17+8cosθ>0，并结合辅助角公式，可得

17=12t⋅sin⁡θ−8cos⁡θ=64+144t2⋅sin⁡(θ−φ)≤64+144t2\begin{align} 17&=12t\cdot\sin\theta-8\cos\theta\\ &=\sqrt{64+144t^2}\cdot\sin(\theta-\varphi)\\ &\leq\sqrt{64+144t^2} \end{align}17=12t⋅sinθ−8cosθ=64+144t2⋅sin(θ−φ)≤64+144t2

于是可解得

t2≥225144t^2\geq\frac{225}{144}t2≥144225

又由t>0t>0t>0，可知

t≥54⇒BE2≥54⇒BE≥52t\geq\frac54\Rightarrow BE^2\geq\frac54\Rightarrow BE\geq\frac{\sqrt{5}}{2}t≥45⇒BE2≥45⇒BE≥25

所以

AB=2BE≥5AB=2BE\geq\sqrt5AB=2BE≥5

这份官方解析我在第一次看的时候也是真的震惊到我了，其中最关键的一步就是这个换元了，换元之后整理等式然后运用辅助角公式求解其取值范围，这着实非常巧妙。也是这时我才意识到除了二次分式可以用这种方法求取值范围（习惯上称为“万能k法”），类似这种其次弦三角函数的分式也可以换元，而且我发现它们都有一个共同点：等式整理后自带取值范围，这也是这两类分式可以这么求取值范围的原因。不得不说“万能k法”是真的好用啊，我想如果没有此法就只能求导解决了吧。。

Peer-平面向量法#

为什么会有这个板块呢？当然是我们年级陈同学的鼎力推荐啊！！！陈同学作为他们班级参赛代表的智囊，在备赛时提出了这一特殊而又引人注目的解法，而由参赛代表孙同学上台讲解。由于这一解法不同于官方的三角法，且计算较少，思路清晰，是很新颖的平面向量解法，所以孙同学和陈同学这一组也拿到了唯二的特等奖之一！

以下请欣赏优雅的平面向量！

第五题-平面向量法

我们从题目所给的条件入手，首先是为数不多的线段比例关系：

BD=2CEBD=2CEBD=2CE

此时我们就可以考虑把这两条线段改写成向量形式，并用一组基底来分别表示这两个向量：为了追求对称美，我们选择以{AB→,AC→}\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}{AB,AC}作为这组基底，则这两个向量可以这样表示：

BD→=AD→−AB→,CE→=AE→−AC→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB},\qquad\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}BD=AD−AB,CE=AE−AC

我们再用上中点的条件，有

AD→=12AC→,AE→=12AB→\overrightarrow{AD}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AB}AD=21AC,AE=21AB

所以

BD→=12AC→−AB→,CE→=12AB→−AC→\overrightarrow{BD}=\frac12\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\qquad\overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}BD=21AC−AB,CE=21AB−AC

于是有

∣BD→∣=2∣CE→∣⇒∣BD→∣2=4∣CE→∣2\Big|\overrightarrow{BD}\Big|=2\Big|\overrightarrow{CE}\Big|\Rightarrow\Big|\overrightarrow{BD}\Big|^2=4\Big|\overrightarrow{CE}\Big|^2BD=2CE⇒BD2=4CE2

即

(12AC→−AB→)2=4(12AB→−AC→)2(\frac12\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2=4(\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2(21AC−AB)2=4(21AB−AC)2

将该式展开并整理可得

5AC2=4AB→⋅AC→5AC^2=4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}5AC2=4AB⋅AC

接下来我们就需要将平面向量带给我们的结论转化为几何条件，即将等式中含向量形式的项改写为纯几何形式，故此设∠BAC=θ\angle BAC=\theta∠BAC=θ，并展开数量积AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}AB⋅AC，即

5AC2=4AB⋅AC⋅cos⁡θ5AC^2=4AB\cdot AC\cdot\cos\theta5AC2=4AB⋅AC⋅cosθ

对此式稍加整理，又因为所求为线段ABABAB的最小值，故为了消掉ACACAC，这里用ABABAB来表示ACACAC，便可得

AC=45ABcos⁡θAC=\frac45AB\cos\thetaAC=54ABcosθ

最后，我们用上题目所给的面积条件，有

S△ABC=12AB⋅AC⋅sin⁡θ=1S_{\triangle ABC}=\frac12AB\cdot AC\cdot\sin\theta=1S△ABC=21AB⋅AC⋅sinθ=1

用ABABAB替换ACACAC并整理，得

AB2=52sin⁡θcos⁡θ=5sin⁡2θAB^2=\frac{5}{2\sin\theta\cos\theta}=\frac{5}{\sin2\theta}AB2=2sinθcosθ5=sin2θ5

由sin⁡2θ≤1\sin2\theta\leq1sin2θ≤1可得

AB2≥5⇒AB≥5AB^2\geq5\Rightarrow AB\geq\sqrt5AB2≥5⇒AB≥5

验证取等条件：当且仅当2θ=π2+2kπ2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi2θ=2π+2kπ即θ=π4+kπ\theta=\frac{\pi}{4}+k\piθ=4π+kπ时取等，而又因为

AC=45ABcos⁡θ>0⇒cos⁡θ>0⇒θ<π2AC=\frac45AB\cos\theta>0\Rightarrow\cos\theta>0\Rightarrow\theta<\frac{\pi}{2}AC=54ABcosθ>0⇒cosθ>0⇒θ<2π

所以

θ∈(0,π2)\theta\in(0,\frac{\pi}{2})θ∈(0,2π)

所以当且仅当θ=45°\theta=45\degreeθ=45°时原式等号成立，故ABABAB长度的最小值为5\sqrt55。

是的，用平面向量来解这道题，答案就这么水灵灵地出来了。只需按照题意一步一步利用所给条件，便可轻松化解难题，不但思路简明，而且计算量比纯三角法小一些，不得不说，神来之笔！

Mine-平面几何法#

如下图，我承认这幅图看着确实很复杂，而且比前文每一道题几何法的图都要复杂——但是，其思路还是非常清晰的：我们先将交叉线段BD,CEBD,CEBD,CE其中的一条进行平移，使两者具有公共端点，以便后续条件的运用，接下来就可以根据线段间的定比运用阿氏圆（全称阿波罗尼斯圆，Apollonius圆）相关知识，探究一些线段取得最值的情况，最后得到答案。

全场最优雅的表演开始！

第五题-平面几何法

首先是平移转化，过点DDD作DM∥CEDM\parallel CEDM∥CE交ABABAB于点MMM，于是有

△ADM∼△ACE\triangle ADM\sim\triangle ACE△ADM∼△ACE

因此

DMCE=AMAE=ADAC=12\frac{DM}{CE}=\frac{AM}{AE}=\frac{AD}{AC}=\frac12CEDM=AEAM=ACAD=21

又因为BD=2CEBD=2CEBD=2CE，所以

BD=4DMBD=4DMBD=4DM

这时我们就可以进一步求出点DDD的限定位置了，由BDDM=4\frac{BD}{DM}=4DMBD=4为定值，可知点DDD一定在一个阿氏圆上，虽然这个圆位置不固定，但是我们后续可以据此来推出一些最值相关的信息。所以我们需要先把该阿氏圆表示出来，只需根据以下这一阿氏圆的结论（更多详情还请自行查阅互联网，很遗憾我目前还没有写过关于阿氏圆的文章，本文仅作针对此例题的相关分析）：

点D在以点D在直线AB上的两个特殊点的连线为直径的圆上\boxed{\text{点$D$在以点$D$在直线$AB$上的两个特殊点的连线为直径的圆上}}点D在以点D在直线AB上的两个特殊点的连线为直径的圆上

那如何理解这句话呢？一步一步来，我们先把这两个特殊点找出来：若点DDD在射线MBMBMB上，记此时点DDD为上图中的点PPP，则有

BP=4PMBP=4PMBP=4PM

另一类情况，若点DDD在射线MAMAMA上——先别着急设新点，因为其实我们会发现点AAA恰好满足

BA=4AMBA=4AMBA=4AM

所以点AAA恰恰就是我们要找的另一个特殊点！由此一来，线段APAPAP理论上就是点DDD所在阿氏圆的直径了，以下通过类似证明角平分线定理的方式证明这一猜想：过点MMM作平行于BDBDBD直线，分别交DPDPDP延长线和线段ADADAD于点J,KJ,KJ,K，则有

{△BDP∼△MJP⇒BDMJ=BPMP=4,△ABD∼△AMK⇒BDMK=ABAM=4\left\{\begin{align} \triangle BDP\sim\triangle MJP\Rightarrow\frac{BD}{MJ}=\frac{BP}{MP}=4,\\ \triangle ABD\sim\triangle AMK\Rightarrow\frac{BD}{MK}=\frac{AB}{AM}=4 \end{align}\right.⎩⎨⎧△BDP∼△MJP⇒MJBD=MPBP=4,△ABD∼△AMK⇒MKBD=AMAB=4

此时再结合等式BDDM=4\frac{BD}{DM}=4DMBD=4，等量代换可得如下一条很重要的等式

DM=MJ=MKDM=MJ=MKDM=MJ=MK

所以点DDD应该在以MMM为圆心、MJMJMJ为半径的圆上（但请注意这不是阿氏圆），即我们证明了

∠KDJ=90°⇒∠ADP=90°\angle KDJ=90\degree\Rightarrow\angle ADP=90\degree∠KDJ=90°⇒∠ADP=90°

如此一来，我们就可以在Rt△APD\mathrm{Rt}\triangle APDRt△APD中，求出点DDD的限定位置了。没错，经过我们巧妙的证明，可知其就是以APAPAP为直径的圆！这印证了最开始阿氏圆的那条结论。接着我们是时候用上题目所给的剩下两个条件了：AE=BE,S△ABC=1AE=BE,S_{\triangle ABC}=1AE=BE,S△ABC=1，那我们不妨先设EM=xEM=xEM=x，得AB=4xAB=4xAB=4x，并过点DDD将△ABD\triangle ABD△ABD的高AHAHAH作出来，由此表示△ABC\triangle ABC△ABC的面积：

S△ABC=2SABD=2×12AB⋅DH=4x⋅DH=1S_{\triangle ABC}=2S_{ABD}=2\times\frac12AB\cdot DH=4x\cdot DH=1S△ABC=2SABD=2×21AB⋅DH=4x⋅DH=1

于是

DH=14xDH=\frac{1}{4x}DH=4x1

最后我们再根据点DDD在以APAPAP为直径的圆上这一条件，可知DHDHDH的长度一定有一个最大值——这个圆的半径！故我们可以先用xxx将其半径表示出来，然后得到一个不等式以解出xxx的最值。于是由EM=xEM=xEM=x的定义，结合点PPP、点AAA的位置，不难得到

BM=3x,PM=35x,AM=xBM=3x,\qquad PM=\frac35x,\qquad AM=xBM=3x,PM=53x,AM=x

所以可知该圆的半径为

r=12AP=12(PM+AM)=12(35x+x)=45xr=\frac12AP=\frac12(PM+AM)=\frac12(\frac35x+x)=\frac45xr=21AP=21(PM+AM)=21(53x+x)=54x

现在便可由上述分析，得出该不等式

DH≤r⇒14x≤45xDH\leq r\Rightarrow\frac{1}{4x}\leq\frac45xDH≤r⇒4x1≤54x

最终解得

x≥54x\geq\frac{\sqrt5}{4}x≥45

将xxx用ABABAB代替，有

AB=4x≥5AB=4x\geq\sqrt5AB=4x≥5

最优雅的表演结束了——在此我再解释一下此方法的可行性：阿氏圆最特殊之处在于其圆心是恰好在直线ABABAB上的，换句话说，它的一条直径APAPAP就在直线ABABAB上，所以点DDD到ABABAB的距离才可以与其拥有固定表示（r=45xr=\frac45xr=54x，无论图上的点如何运动，该等式依然成立）的半径相比较。也正是有了这样的线段长度比较，我们才能得到最后如此简洁的不等式以解决此问题。

体会与心得#

纵观整篇文章，我为这五道题的平面几何法都标注了一个核心思想，分别是：动静互换、探照灯模型、反演变换、倍长中线、阿氏圆，其中不乏我们最常见的倍长中线，也有非常罕见的反演变换，由此可知平面几何学的灵活多变真的是让人难以捉摸。不过，我想这才是我们学习平面几何的终极奥义吧，只有通过一题多解的形式，我们的思维才更有可能得到提升。

与如解析几何、三角几何、平面向量等的其他解题方法相比，平面几何法的计算量通常远小于这些方法的，然而思维性却通常远大于其他方法，我想这应该也是“舍得”的一种外在表现吧，舍去计算量，用思维替代。

如果目前你被困于解题这个巨大的天坑之中，我给出的建议是，可以换种角度，从一个新的视角重新审视同一道题目，也许新的灵感就出现呢！

最后，对于本篇文章如有疑惑或者一些更好的解法，欢迎在下方评论区中发表你的看法~ 我在看到后尽量第一时间回复，当然也可以相互讨论解决问题哦。每一个人的求知欲都是值得被保护的！

最后此处以苏联数学家阿纳托利·纳乌莫维奇·雷巴科夫（Анатолий Наумович Рыбаков）的一句话结束本篇文章：时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。

数据迁移之「从 Waline 到 Twikoo」

Fri, 20 Feb 2026 13:26:27 GMT

本文是对上一篇中提到的待解决问题给出的应对方案，可以点此阅读 LeanCloud停止对外服务&第一次博客迁移。

距离上一次发文已经有足足十二天了！这篇文章也大概拖了有一个多星期了，不过还是先不讲这么多废话了吧。

前言#

上一篇文章其实是有提到我将博客评论系统从 Waline 迁移到 Twikoo 的，但是当时并没有迁移原来的评论数据，因为 Twikoo 的管理面板中并不支持直接从 Waline 导入，目前好像只支持从 Valine、Disqus、Artalk 和 Twikoo 本身导入；本来我还想着因为 Waline 是 Valine 的进化版，可不可以把 Waline 的评论数据通过 Valine 选项导入……但是非常不幸的是，失败了！看来这两者之间的数据格式还是与些许不兼容的。

——那么，正所谓“自己动手，丰衣足食”，既然前面的选项都无法直接导入，那就干脆自己从零开始制作一个程序把 Waline 格式的评论数据转换为 Twikoo 格式的评论数据然后通过 Twikoo 选项导入啦~（谁会想着自己一个一个手动迁移呢）

自己动手，丰衣足食#

对比数据结构#

迁移之前，当然要先充分了解 Waline 和 Twikoo 各自的数据结构特点，找出其中的相同和不同之处，才能更加系统地制作迁移程序。

总览全局#

首先，放长眼光，总览全局，两者导出的数据都是 JSON 格式的文件：

不难发现 Waline 的数据结构大致是：

waline.json

1
{
2
  "data": {
3
    "Comment": [
4
      {/*...*/},
5
      {/*...*/},
6
      {/*...*/},
7
    ],
8
    /*...*/
9
  },
10
}

而 Twikoo 的数据结构大致是：

twikoo.json

1
[
2
  {/*...*/},
3
  {/*...*/},
4
  {/*...*/},
5
]

对比非常明显，Twikoo 的数据文件应该是要比 Waline 小很多的，而且结构也更加清晰。在仔细观察后，就会发现 Twikoo 的数据结构整体的这个数组就对应了 Waline 数据结构中的 Comment 字段的数组，而且这个数组中的每一个值都是一个对象，代表着每一条评论数据。

深入探究#

其次，分析两者评论数据数组中的具体内容，请看下面两组例子（这里就拿我的博客的一些评论数据举例）：

第一组（非回复评论）：

waline.json展开收起

1
{
2
  "nick": "静凇",
3
  "ip": "12.345.678.90",
4
  "like": 1,
5
  "mail": "abcdefg@example.com",
6
  "ua": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/120.0.0.0 Safari/537.36",
7
  "insertedAt": "2023-12-27T13:29:58.613Z",
8
  "status": "approved",
9
  "link": "",
10
  "comment": "谢谢，帮了大忙了",
11
  "url": "/posts/hexo-redefine-theme-踩过的坑/",
12
  "objectId": "68799fea6e25c660f962a2c7",
13
  "createdAt": "2025-07-18T01:14:18.723Z",
14
  "updatedAt": "2025-07-18T01:14:18.723Z"
15
},

展开收起

twikoo.json展开收起

1
{
2
  "_id": "f34674e295fa49539b8984cb99a59f94",
3
  "nick": "静凇",
4
  "mail": "abcdefg@example.com",
5
  "link": "",
6
  "ua": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/120.0.0.0 Safari/537.36",
7
  "ip": "12.345.678.90",
8
  "url": "/posts/hexo-redefine-theme-%E8%B8%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%9D%91/",
9
  "comment": "<p>谢谢，帮了大忙了</p>",
10
  "uid": "8bc585221ed5410c8d73b2d629bd24a7",
11
  "mailMd5": "1a7ca9215b81484630893cb8d5f73e0f",
12
  "master": false,
13
  "href": "https://blog.hxrch.top/posts/hexo-redefine-theme-%E8%B8%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%9D%91/",
14
  "isSpam": false,
15
  "created": 1703683798613,
16
  "updated": 1752801258723,
17
  "top": false
18
},

展开收起

第二组（回复评论）：

waline.json展开收起

1
{
2
  "nick": "Horean0574",
3
  "ip": "98.765.432.10",
4
  "mail": "uvwxyz@example.com",
5
  "ua": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/140.0.0.0 Safari/537.36",
6
  "insertedAt": "2025-07-18T01:28:52.287Z",
7
  "pid": "68799fea6e25c660f962a2c7",
8
  "status": "approved",
9
  "link": "https://www.hxrch.top",
10
  "comment": "感谢您的认可<img class=\"wl-emoji\" src=\"//unpkg.com/@waline/emojis@1.2.0/bmoji/bmoji_unavailble_doge.png\" alt=\"bmoji_unavailble_doge\">",
11
  "url": "/posts/hexo-redefine-theme-踩过的坑/",
12
  "user_id": "64eabd5c7eac3a7867657e83",
13
  "rid": "68799fea6e25c660f962a2c7",
14
  "objectId": "6879a35413c0fe150872ea9e",
15
  "createdAt": "2025-07-18T01:28:52.561Z",
16
  "updatedAt": "2025-07-18T01:28:52.561Z"
17
},

展开收起

twikoo.json展开收起

1
{
2
  "_id": "6d26831b6dcf40f082d2f66d1c7e5c51",
3
  "nick": "Horean",
4
  "mail": "uvwxyz@example.com",
5
  "link": "https://www.hxrch.top",
6
  "ua": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/140.0.0.0 Safari/537.36",
7
  "ip": "98.765.432.10",
8
  "url": "/posts/hexo-redefine-theme-%E8%B8%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%9D%91/",
9
  "comment": "<p>感谢您的认可<img class=\"wl-emoji\" src=\"//unpkg.com/@waline/emojis@1.2.0/bmoji/bmoji_unavailble_doge.png\" alt=\"bmoji_unavailble_doge\"></p>",
10
  "pid": "f34674e295fa49539b8984cb99a59f94",
11
  "rid": "f34674e295fa49539b8984cb99a59f94",
12
  "uid": "51fa62a9deed478544da9e60663434d8",
13
  "mailMd5": "65b03c3c3cdd117c392cf74f5e588083",
14
  "master": true,
15
  "href": "https://blog.hxrch.top/posts/hexo-redefine-theme-%E8%B8%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%9D%91/",
16
  "isSpam": false,
17
  "created": 1752802132287,
18
  "updated": 1752802132561,
19
  "top": false
20
},

展开收起

不知道大家有没有发现些什么，Waline 与 Twikoo 这两种评论系统的数据结构非常相似呢，例如 nick, mail, comment 等等；当然也有一些不一样的地方，比如 Waline 的 objectId 和 Twikoo 的 _id、 Waline 的 status 和 Twikoo 的 isSpam。

所以这里就需要我们逐个分析，一一对比，便可得到如下表格数据对应表格：

字段含义	Waline 字段名称	Twikoo 字段名称
评论者昵称	nick
评论者邮箱	mail
评论者用户代理	ua
评论者IP地址	ip
评论内容	comment
评论者网站	link
评论地址资源路径	url
回复的父评论ID	pid(null \| 24位MongoDB ObjectId / UUID4)
回复的根评论ID	rid(null \| 24位MongoDB ObjectId / UUID4)
点赞人数/列表	like(number / string[])
评论ID	objectId(24位MongoDB ObjectId)	_id(UUID4)
Twikoo中的用户ID	-	uid(UUID4)
Waline中的用户ID	user_id(24位MongoDB ObjectId)	-
评论者邮箱的MD5密文	-	mailMd5
是否博主评论	-	master(boolean)
评论完整地址	-	href
评论状态	status("approved" \| "waiting" \| "spam")	isSpam(boolean)
评论插入/创建时间	insertedAt(ISO 8601)	created(UNIX 时间戳)
Waline中评论创建时间	createdAt(ISO 8601)	-
评论更新时间	updatedAt(ISO 8601)	updated(UNIX 时间戳)
是否置顶	sticky(number)	top(boolean)

注意

非常重要的一点，这里需要注意相同字段在两种不同的评论系统下数据类型可能不同。

程序构思#

为了更好地编写迁移程序，我们需要在这之前梳理程序思路，思考这些数据的具体处理方式。

数据处理#

以下条例中将用 中括号[] 代指 Twikoo 字段，用 尖括号<> 代指 Waline 字段。

完全照搬：nick, mail, ua, ip, comment, link, url.
[_id] 与 <objectId>一一对应，直接生成新的 UUID4 作为[_id].
当 <status> 为 “waiting” 或 “spam” 时，[isSpam] 为 true.
当 <status> 为 “approved” 时，[isSpam] 为 false.
[created] 与 <insertedAt> 一一对应（需将 ISO 8601 时间转换为 UNIX 时间戳）.

为什么不是与 <createdAt> 对应呢？因为 <createdAt> 可能会随 Waline 系统的更新而改变[我的推测]，而 <insertedAt> 代指这条评论插入数据库的时间，就不会受到影响。
[updated] 与 <updatedAt> 一一对应（需将 ISO 8601 时间转换为 UNIX 时间戳）.
<url> 中的非 ASCII 字符（如中文字符）需要进行URL编码后才可以存为 [url]，否则无效.
[href] 由博客域名与 [url] 拼接而得.
[master] 取决于评论者邮箱是否为博主邮箱.
[pid], [rid] 格式与 [_id] 相同，均为 UUID4 或者当其为 非回复评论 时，其值为 null.
<pid>, <rid> 格式与 <objectId> 相同，均为 MongoDB ObjectId 或者当其为 非回复评论 时，则不存在.
[mailMd5] 由 [mail] 字段进行 MD5 加密而得，32位或64位皆可，这里取32位.
[top] 与 <sticky> 一一对应，当 <sticky> 的值大于零时，[top] 的值为真.
[comment] 应为 HTML 格式，而 <comment> 可以选择是否保留 HTML 标签，所以转换时需要把 <comment> 从 Markdown 进一步转换为 HTML.

提醒

<user_id> 字段可以完全不用理会，因为未注册的用户没有这一属性，所以这里以 <mail> 作为判断是否为同一用户的依据。
<like> 字段也可以不用理会，因为 Waline 中的 <like> 字段存储数据为点赞总量，而 Twikoo 中的 [like] 字段则是一个包含点赞用户ID的数组，所以不兼容，只可从 Twikoo 到 Waline 单向转换。

流程&算法#

最开始当然是先读取原来 Waline 的评论数据啦。
第一次循环，遍历原评论数据。因为 [_id] 与 <objectId> 一一对应，而且需要根据 <mail> 确定 [uid]，又考虑到后面转换数据时可能有多层嵌套关系，所以第一次遍历原评论数据应该先建立以上字段的映射，以便后来使用。
第二次遍历原评论数据。这一次则需要根据上文提到的表格进行数据转换，这里需要充分利用好刚才的映射。
然后就可以将转换结果写入文件啦~

这样一来，我们就可以大致画出整个程序的流程图了：

Coding!#

数据和算法逻辑都有了，接下来就是纯手工活了——这里使用 Python 为编程语言编写了这个迁移程序，依照上面的思路，我设计了一款交互式输入的迁移程序并部署至 GitHub 仓库：

Horean0574

waline2twikoo

Waiting for api.github.com...

00K

Waiting...

也可以直接在这里下载运行主要代码文件（更多详细说明还请参考 GitHub 仓库）：

注意

根据以上流程，本程序需提前安装的第三方库：click, Markdown:

Terminal window

1
pip install click markdown

main.py展开收起

1
import json
2
import uuid
3
import hashlib
4
import click
5
from pathlib import Path
6
from datetime import datetime
7
from urllib.parse import quote
8
from markdown import markdown
9

10
cidMap = { }
11
uidMap = { }
12
res = []
13

14

15
def step_start(prompt):
16
    click.echo(prompt, nl=False)
17

18

19
def step_complete(another_newline=False):
20
    if another_newline:
21
        click.echo("  完成✅\n")
22
    else:
23
        click.echo("  完成✅")
24

25

26
def new_uuid():
27
    return str(uuid.uuid4()).replace("-", "")
28

29

30
def md5_encrypt(data):
31
    md5 = hashlib.md5()
32
    md5.update(data.encode("UTF-8"))
33
    return md5.hexdigest()
34

35

36
def iso2unix(iso):
37
    dt = datetime.fromisoformat(iso)
38
    return int(dt.timestamp() * 1000)
39

40

41
def get_converted(item, site_domain, master_mail):
42
    url = quote(item["url"])
43
    return {
44
        "nick": item["nick"],
45
        "mail": item["mail"],
46
        "link": item["link"],
47
        "ua": item["ua"],
48
        "ip": item["ip"],
49
        "url": url,
50
        "comment": markdown(item["comment"].replace("\n", "\n\n")),
51
        "pid": cidMap[item["pid"]] if "pid" in item else None,
52
        "rid": cidMap[item["rid"]] if "rid" in item else None,
53
        "_id": cidMap[item["objectId"]],
54
        "uid": uidMap[item["mail"]],
55
        "mailMd5": md5_encrypt(item["mail"]),
56
        "master": bool(item["mail"] == master_mail),
57
        "href": "https://" + site_domain + url,
58
        "isSpam": bool(item["status"] != "approved"),
59
        "created": iso2unix(item["insertedAt"]),
60
        "updated": iso2unix(item["updatedAt"]),
61
        "top": bool(item["sticky"] > 0) if "sticky" in item else False,
62
    }
63

64

65
def read_waline(read_file):
66
    step_start("读取 Waline 评论数据中……")
67
    with open(read_file, "r", encoding="UTF-8") as f:
68
        waline = json.load(f)["data"]["Comment"]
69
    total = len(waline)
70
    cnt = 0
71
    step_complete()
72
    return waline, total, cnt
73

74

75
def establish_map(waline):
76
    step_start("映射建立中……")
77
    for item in waline:
78
        cidMap[item["objectId"]] = new_uuid()
79
        if item["mail"] not in uidMap:
80
            uidMap[item["mail"]] = new_uuid()
81
    step_complete(True)
82

83

84
def convert_all(site_domain, master_mail, waline, total, cnt):
85
    for item in waline:
86
        cnt += 1
87
        step_start(f"{cnt}/{total}: 正在转换来自 [{item["nick"]}] 的评论……")
88
        res.append(get_converted(item, site_domain, master_mail))
89
        step_complete()
90

91

92
def write_twikoo(write_file):
93
    step_start("\n写入文件中……")
94
    output_path = Path(write_file)
95
    output_path.parent.mkdir(parents=True, exist_ok=True)
96
    with open(write_file, "w", encoding="UTF-8") as f:
97
        json.dump(res, f, ensure_ascii=False, indent=2)
98
    step_complete()
99

100

101
def main(site_domain, master_mail, master_uid, read_file, write_file):
102
    global uidMap
103
    if master_uid != "":
104
        uidMap = { master_mail: master_uid }
105
    waline, total, cnt = read_waline(read_file)
106
    establish_map(waline)
107
    convert_all(site_domain, master_mail, waline, total, cnt)
108
    write_twikoo(write_file)
109

110

111
def interactive_input():
112
    site_domain = click.prompt("你的站点域名")
113
    bcf = click.prompt("你（博主）有在新的Twikoo评论系统上评论过吗？(y/N)", type=bool, default=False, show_default=False)
114
    if bcf:
115
        master_mail = click.prompt("你的电子邮件")
116
        master_uid = click.prompt("你的 Twikoo UID（可在导出 Twikoo 评论数据后看到）")
117
    else:
118
        master_mail = master_uid = ""
119
    read_file = click.prompt("原 Waline 评论数据文件路径（相对路径，JSON文件）")
120
    write_file = click.prompt("新的 Twikoo 评论数据文件存储路径（相对路径，JSON文件）")
121
    click.echo()
122
    main(site_domain, master_mail, master_uid, read_file, write_file)
123

124

125
if __name__ == '__main__':
126
    click.echo("Program started.\n")
127
    interactive_input()
128
    click.echo("\nProgram ended.")

展开收起

后记#

总结一下要点：自己制作一个评论数据迁移程序，大概就是 分析数据结构、程序构思 再到 编码 这三个过程，整体上来看难度不大，但是有点费时，不过写完并正确运行之后真的非常有成就感，就会觉得这段时间的功夫没有白费，想想就觉得舒服~ 同时也推荐大家自己去尝试编写这样一个程序。

如果觉得本项目不错的，欢迎在 GitHub 仓库上给个 Star 哦~ 感谢大家对本项目的支持！如有任何疑问或想法也欢迎在仓库上提交 Issue 或 Pull request。

LeanCloud停止对外服务&第一次博客迁移

Sun, 08 Feb 2026 13:50:43 GMT

起因#

哈喽大家好，又已经一个多月没有发表过文章了，毕竟高一的期末考备考也是很重要的，这直接关乎以后的分班（我们已经分完班啦——当然我还是在我校最优秀的那个班😁٩(•̤̀ᵕ•̤́๑)ᵒᵏᵎᵎᵎᵎ）

让我没想到的是，回来一看个人博客发现天塌了，我的博客评论系统 Waline 所使用的数据存储服务的提供商 LeanCloud 即将停止对外服务，其在公告中明确写出将于2027年1月12日正式停止所有对外服务（详见停服公告原文）。这真的是非常恐怖😱的一件事情，不然等到评论数据全部被销毁之后可就麻烦了。

虽然 Waline 官方有针对这一问题提出解决方案，就是利用如 MongoDB AtLas 等其他提供一定免费额度的数据库来替代原来 LeanCloud 的位置，按照这个步骤确实可以完美迁移评论数据。但是吧，鉴于目前已放寒假，时间稍微充足一些（仅充足一点点，作业非常非常多🤢），且我在一段时间以前就已经想把原来的博客主题 Redefine 换掉了（不能说不美观吧，也挺简洁的，就是总感觉哪里缺了点什么，整个界面看起来不太简约，总之就是风格我有点不太喜欢[我也不知道我之前为什么会选择这个主题🤔]），于是在种种因素的加持下，我选择了更换主题并迁移评论数据。

主题的选择#

受到我的线上朋友小改学习志和 Virelyx (现路明笔记) 的影响，一说到更换主题，我就在考虑是否可以购入一台云服务器并部署一款由神秘布偶猫（Oyiso）开发的动态博客主题。但是仔细想想，还是觉得有些没必要，毕竟云服务器的购入成本不会很低，维护成本也不少，还不如继续用一款静态博客主题呢。

但是在 Hexo 的主题花园中，我同样没有找到一款我个人认为比较优秀的主题，况且利用 Hexo 部署个人博客，我发现在切换页面内容的次数多了之后整个页面就会变得很卡，相较之下美观与否就显得不那么重要了，因为性能才决定着体验！

于是我又将目光转向了 Astro，为什么呢？因为 Astro 区别于其他框架最大的一个特点就是：它是真的会尽量减少客户端 JavaScript 脚本文件的数量，将几乎所有动态任务交给服务端，以获得最佳的客户端性能体验。这么一看，不就对了吗——这正是我们想要的性能优化啊！当然，只有高性能而没有美观界面也肯定是不够的，这就要说到 Astro 最大的缺陷了：很多好看的主题需要付费，而免费主题大多数都没有好的效果——真的很难在成效与成本之间达到平衡😢。不过好在这真就让我挖到宝藏了！没错，就是 Fuwari 主题！当然我不是在之前没有讲过这个主题，而是真的找不到比它更加优秀的免费主题了，所以——直接开始迁移

——了吗？

显然不是，因为我很快就发现：原生 Fuwari 并不支持评论系统，而且我还需要更进一步的优化（例如文章目录、站点统计等等），这些都是原生 Fuwari 没有的，那么接下来就有两种选择：

自己对 Fuwari 进行改造，实现想要的功能
直接应用其他的二创主题模板

这应该不用说了，能偷懒肯定还是先偷懒啊（其实是因为自己还没有达到进行完美改造的水平），有别人造好的轮子能不用么？

所以，我最终选择了一款清新的基于 Fuwari 的二创主题 Firefly，Git仓库地址在此处，演示站在这里，它还配备有比较详细的官方文档，社区支持还不错吧，而且这里基本上有我想要的大部分功能。

简单来说，Firefly 是这样的一款主题：

Firefly 主题简介

Firefly 是一款基于 Astro 框架和 Fuwari 模板开发的清新美观且现代化个人博客主题，专为技术爱好者和内容创作者设计。该主题融合了现代 Web 技术栈，提供了丰富的功能模块和高度可定制的界面，让您能够轻松打造出专业且美观的个人博客网站。

⚡ 静态站点生成: 基于Astro的超快加载速度和SEO优化
🎨 现代化设计: 简洁美观的界面，支持自定义主题色
📱 移动友好: 完美的响应式体验，移动端专项优化
🔧 高度可配置: 大部分模块均可通过配置文件自定义

CuteLeaf

Firefly

Waiting for api.github.com...

Waiting for api.github.com...

00K

Waiting...

那么最终我选择迁移的主题就确定了：Firefly！这次是真的可以开始迁移了！

配置新主题#

最开始肯定还是依照官方文档的步骤，先把项目环境搭建好并部署。接下来再进行项目配置的修改，Firefly 区别于 Fuwari 最明显的点是它的配置文件从 src/content.config.ts 单一文件变为了 src/config/ 一整个文件夹📂里面分类整理好的不同配置文件，这样确实对提高配置效率有着明显帮助。

配置文件树结构大致如下：

1
src/
2
├── config/
3
│   ├── index.ts              # 配置索引文件
4
│   ├── siteConfig.ts         # 站点基础配置
5
│   ├── backgroundWallpaper.ts # 背景壁纸配置
6
│   ├── profileConfig.ts      # 用户资料配置
7
│   ├── commentConfig.ts      # 评论系统配置
8
│   ├── announcementConfig.ts # 公告配置
9
│   ├── licenseConfig.ts      # 许可证配置
10
│   ├── footerConfig.ts       # 页脚配置
11
│   ├── FooterConfig.html     # 页脚HTML内容
12
│   ├── expressiveCodeConfig.ts # 代码高亮配置
13
│   ├── sakuraConfig.ts       # 樱花特效配置
14
│   ├── fontConfig.ts         # 字体配置
15
│   ├── sidebarConfig.ts      # 侧边栏布局配置
16
│   ├── navBarConfig.ts       # 导航栏配置
17
│   ├── musicConfig.ts        # 音乐播放器配置
18
│   ├── pioConfig.ts          # 看板娘配置
19
│   ├── adConfig.ts           # 广告配置
20
│   ├── friendsConfig.ts      # 友链配置
21
│   ├── sponsorConfig.ts      # 赞助配置
22
│   └── coverImageConfig.ts  # 文章封面图配置

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页脚配置#

这上面的配置基本上都很轻松，但是我还得要为页脚再添加一些东西，如盟国ICP备案的信息之类的，不然我的个人博客很有可能被取消备案（虽然对我也没有什么实质影响），那这里就要先把配置文件 src/config/footerConfig.ts 中 enable 改为 true：

src/config/footerConfig.ts

3
export const footerConfig: FooterConfig = {
4
  // 是否启用Footer HTML注入功能
5
  enable: true,
6
};

接下来就要在 src/config/FooterConfig.html 中写上需要添加的页脚内容的HTML5代码：

src/config/FooterConfig.html

1
<div class="flex flex-wrap flex-row gap-2 justify-center mt-2">
2
  <a href="https://www.travellings.cn/go.html" target="_blank" title="开往 | 友链接力">
3
    <img src="https://img.hxrch.top/travellings.svg" alt="开往 | 友链接力">
4
  </a>
5
  <a href="https://icp.gov.moe/?keyword=20251935" target="_blank" title="萌ICP备20251935号">
6
    <img src="https://img.hxrch.top/moe1935.svg" alt="萌ICP备20251935号">
7
  </a>
8
  <a href="https://icp.redcha.cn/beian/ICP-2025080030.html" target="_blank" title="茶ICP备2025080030号">
9
    <img src="https://img.hxrch.top/cha080030.svg" alt="茶ICP备2025080030号">
10
  </a>
11
</div>

评论配置#

终于要开始配置评论系统了💬，我觉得这应该算是本次迁移过程中难度最大的一步了。

迈出第一步，正如文章开头提到的，目前的 Waline 需要将存储服务从 LeanCloud 更换为一种数据库，这看上去倒是没有什么问题。但是，就这么说吧，Waline 不是不行，而是将其嵌入到这个新主题 Firefly 中感觉其外观有点不太协调——在我看来，Waline 比较适合放在我原来的博客主题 Redefine 中。所以从美观的角度上来讲，我就应该使用另外一种评论系统了，那到底该哪一种好呢？

嗯，没错，就是 Twikoo！在经过对比之后，我发现 Twikoo 可以完美适配 Firefly 这个主题，况且 Twikoo 在功能上与 Waline 其实并没有太大差别，甚至在某种程度上可以说 Twikoo 比 Waline 的配置更加方便，并且 Twikoo 的配置选项好像也更多一些。

到这里，就可以正式开始配置 Twikoo 了。

第一步：配置 MongoDB Atlas#

没错，与 Waline 相同，Twikoo 也需要用 MongoDB Atlas 作为数据库，虽然有点麻烦，但是为了各位来访者们更佳的阅读体验，这还算不了什么！

这一步的配置过程与官方文档上的说明完全一致，这里就不再过多赘述，但是请务必记住保存 MongoDB 数据库连接字符串！后面的步骤需要用到。

第二步：云函数部署#

这里官方提供了好多种部署方式，包括腾讯云、Vercel、Netlify、Railway 等等服务商，我这里选择的是 Vercel，因为我一直以来所有的线上服务都是部署在 Vercel 上的，比较习惯。

这一步与官方文档上的说明也完全一致，注意最后需要为这个服务绑定自己的域名以便国内访问，并记下该域名。

第三步：前端部署#

到这里就可以完全把官方文档关掉啦！因为 Firefly 内置了 Twikoo 的前端模板，所以我们只需要在配置文件 src/config/commentConfig.ts 中进行修改即可（其中评论系统类型 type 改为 twikoo，评论系统配置中的 envId 写上刚才在 Vercel 中为这个服务绑定的自定义域名）：

src/config/commentConfig.ts展开收起

3
export const commentConfig: CommentConfig = {
4
  // 评论系统类型: none, twikoo, waline, giscus, disqus, artalk，默认为none，即不启用评论系统
5
  type: "twikoo",
6

7
  //twikoo评论系统配置
8
  twikoo: {
9
    envId: "https://blog-twikoo.hxrch.top",
10
    // 设置 Twikoo 评论系统语言
11
    lang: "zh-CN",
12
    // 是否启用文章访问量统计功能
13
    visitorCount: true,
14
  },
15

16
    /* ... */
17
};

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第四步：配置 Twikoo#

待 Twikoo 在博客上成功部署后，就可以点击评论区右侧的小齿轮按钮对评论系统进一步配置啦！里面可以设置博主的昵称、邮箱以及网址，需要注意的是 Twikoo 中的所有评论者的头像图片都源于 WeAvatar（当然还可以在 Firefly 配置文件中更改为其他的头像储存商），要想自定义头像，需要在 WeAvatar 注册并为相应的邮箱上传头像图片。

此外，配置博客评论系统当然还少不了配置邮件通知这一环节，这是非常非常至关重要的一步，是连接博主与访客的紧密桥梁，是优秀博客网站的极大体现。鉴于我的上一次博客网站并没有成功配置评论邮件通知，所以我这一次要狠狠地弥补这个遗憾！为了能够成功配置邮件通知，我总结了一下我之前失败的原因：要么是例如 Outlook 这种已经完全关闭 SMTP 服务的邮箱不可行；要么是像网易免费企业邮箱这种我无论怎么配置、怎么调试都行不通的邮箱（我觉得大概率还是我个人的技术原因吧[skill issue]）。

所以这一次，我打算选择另外一家企业邮箱服务商！

看到市面上这类服务商有很多，不论国内国际都一样，就例如 Mailgun、Mailjet 等等。而我也不知道为什么，我就找到了另外一家不太知名但是体验还不错的服务商 Resend，它提供的免费额度（100条/天且 3000条/月，详见 Pricing · Resend）其实足够我这种小型博客网站了。那么在我注册账号、添加域名、添加域名DNS记录并申请 API Key（很重要，后面要用）等一系列操作之后，就应该在 Twikoo 管理面板上配置其 SMTP 等内容了：在其 配置管理 选项卡下找到 邮件通知，在里面进行如下配置：

选项	内容
SENDER_EMAIL	bot@hxrch.top（发送者邮箱，[@]后面需是刚刚在 Resend 中绑定的域名）
SENDER_NAME	评论提醒 - Horean’s Blog
SMTP_HOST	smtp.resend.com
SMTP_PORT	465
SMTP_SECURE	true
SMTP_USER	resend
SMTP_PASS	<刚刚申请的 API Key>

接下来就可以到 Twikoo 管理面板中 配置管理 选项卡下的 邮件通知测试 中输入测试接收者邮箱进行邮件通知测试啦！

如果正确注册并配置 Resend 账号并完全严格按照上面这个模板进行 SMTP 配置，那么不出意外，这里就应该会测试成功！

测试成功之后，就该关注访客评论和收到回复后收到邮件通知的内容啦！对此，Twikoo 提供了一套相应的模板变量，包含评论者的昵称、邮箱、网址、IP地址等信息，所谓配置内容模板，就是要在充分利用这些模板变量的前提下做到页面美观（不追求美观就直接罗列模板变量即可😊）。内置模板变量如下：

模板字段	字段含义
${SITE_URL}	*站点地址（根目录，无资源路径）
${SITE_NAME}	*站点名称
${NICK}	*评论者/回复者昵称
${COMMENT}	*评论者/回复者评论内容
${IMG}	*评论者/回复者头像
${POST_URL}	*评论博文地址
${MAIL}	评论者/回复者邮箱
${PARENT_NICK}	被回复者昵称
${PARENT_COMMENT}	被回复者评论
${PARENT_IMG}	被回复者头像

提示

上述表格中 字段含义 前面标星号（*）代表评论和回复两个模式都包含这个字段

接下来要做的便是写邮件HTML5模板，当然，我目前没有那么多精力完全由自己打造一款，所以我就在互联网上借鉴了一款邮件通知模板并稍作改进。成品参考图如下：

邮件通知内容模板效果

实现代码大致如下（分为评论模式[master] 和 回复模式[visitor]）（使用时请往下找到压缩版本以提升加载速度）：

注意

代码中高亮部分需要替换为自己的博客图标地址！

master.html展开收起

1
<div class="page flex-col">
2
  <div class="box_3 flex-col" style="   display: flex;   position: relative;   width: 100%;   height: 206px;   background: #E0F4EACC;   top: 0;   left: 0;   justify-content: center; ">
3
    <div class="section_1 flex-col" style="   background-image: url('https://img.hxrch.top/bfav256.webp');   position: absolute;   border-radius: 50%;   width: 152px;   height: 152px;   display: flex;   top: 130px;   background-size: cover; "></div>
4
  </div>
5
  <div class="box_4 flex-col" style="   margin-top: 92px;   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center; ">
6
    <div class="text-group_5 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center;   margin: 0 20px; "> <span class="text_1"
7
        style="   font-size: 26px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #000000;   line-height: 37px;   text-align: center; ">🔔你在 ${SITE_NAME} 中收到了一条新评论！</span> <span class="text_2"
8
        style="   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #00000030;   line-height: 22px;   margin-top: 21px;   text-align: center; ">${NICK} 在 ${SITE_NAME} 中发表了新评论</span> </div>
9
    <div class="box_2 flex-row" style="   margin: 0 20px;   min-height: 128px;   background: #E0F4EACC;    border-radius: 12px;   margin-top: 34px;   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: flex-start;   padding: 32px 16px;   width: calc(100% - 40px); ">
10
      <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   margin-left: 30px;   margin-bottom: 16px; "> <span class="text_3"
11
          style="   height: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #008760;    line-height: 22px; ">评论者信息：</span> <span class="text_4"
12
          style="   margin-top: 6px;   margin-right: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #000000;   line-height: 22px; ">
13
          <span>- 昵称：${NICK}</span><br>
14
          <span>- IP地址：${IP}</span><br>
15
          <span>- 邮箱：${MAIL}</span>
16
        </span> </div>
17
      <hr style="     display: flex;     position: relative;     border: 1px dashed #E0F4EACC;  box-sizing: content-box;     height: 0px;     overflow: visible;     width: 100%; ">
18
      <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   margin-left: 30px; "> <span class="text_3"
19
          style="   height: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #008760;    line-height: 22px; ">${NICK} 的评论内容：</span> <span class="text_4"
20
          style="   margin-top: 6px;   margin-right: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #000000;   line-height: 22px; ">${COMMENT}</span> </div>
21
      <a class="text-wrapper_2 flex-col" style="   min-width: 106px;   height: 38px;   background: #C0E9D6;   border-radius: 32px;   display: flex;   align-items: center;   justify-content: center;   text-decoration: none;   margin: auto;   margin-top: 32px; " href="${POST_URL}"> <span
22
          class="text_5" style="   color: #008760;  ">查看详情</span> </a>
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    </div>
24
    <div class="text-group_6 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center;   margin-top: 34px; "> <span class="text_6"
25
        style="   height: 17px;   font-size: 12px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #00000045;   line-height: 17px; ">此邮件由评论服务自动发出，直接回复无效。</span> <a class="text_7"
26
        style="   height: 17px;   font-size: 12px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #008760;   line-height: 17px;   margin-top: 6px;   text-decoration: none; " href="${SITE_URL}">前往博客</a> </div>
27
  </div>
28
</div>

展开收起

visitor.html展开收起

1
<div class="page flex-col">
2
  <div class="box_3 flex-col" style="   display: flex;   position: relative;   width: 100%;   height: 206px;   background: #E0F4EACC;   top: 0;   left: 0;   justify-content: center; ">
3
    <div class="section_1 flex-col" style="   background-image: url('https://img.hxrch.top/bfav256.webp');   position: absolute;   border-radius: 50%;   width: 152px;   height: 152px;   display: flex;   top: 130px;   background-size: cover; "></div>
4
  </div>
5
  <div class="box_4 flex-col" style="   margin-top: 92px;   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center; ">
6
    <div class="text-group_5 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center;   margin: 0 20px; "> <span class="text_1"
7
        style="   font-size: 26px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #000000;   line-height: 37px;   text-align: center; ">嘿！你在 ${SITE_NAME} 中收到一条新回复。</span> <span class="text_2"
8
        style="   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #00000030;   line-height: 22px;   margin-top: 21px;   text-align: center; ">你之前在 ${SITE_NAME} 中的评论收到来自 ${NICK} 的回复</span> </div>
9
    <div class="box_2 flex-row" style="   margin: 0 20px;   min-height: 128px;   background: #E0F4EACC;    border-radius: 12px;   margin-top: 34px;   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: flex-start;   padding: 32px 16px;   width: calc(100% - 40px); ">
10
      <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   margin-left: 30px;   margin-bottom: 16px; "> <span class="text_3"
11
          style="   height: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #008760;    line-height: 22px; ">您发表的评论：</span> <span class="text_4"
12
          style="   margin-top: 6px;   margin-right: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #000000;   line-height: 22px; ">${PARENT_COMMENT}</span> </div>
13
      <hr style="     display: flex;     position: relative;     border: 1px dashed #E0F4EACC;  box-sizing: content-box;     height: 0px;     overflow: visible;     width: 100%; ">
14
      <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   margin-left: 30px; "> <span class="text_3"
15
          style="   height: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC;   font-weight: bold;   color: #008760;    line-height: 22px; ">${NICK} 给您回复啦：</span> <span class="text_4"
16
          style="   margin-top: 6px;   margin-right: 22px;   font-size: 16px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #000000;   line-height: 22px; ">${COMMENT}</span> </div> <a class="text-wrapper_2 flex-col"
17
        style="   min-width: 106px;   height: 38px;   background: #C0E9D6;   border-radius: 32px;   display: flex;   align-items: center;   justify-content: center;   text-decoration: none;   margin: auto;   margin-top: 32px; " href="${POST_URL}"> <span class="text_5"
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          style="   color: #008760;  ">查看详情</span> </a>
19
    </div>
20
    <div class="text-group_6 flex-col justify-between" style="   display: flex;   flex-direction: column;   align-items: center;   margin-top: 34px; "> <span class="text_6"
21
        style="   height: 17px;   font-size: 12px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #00000045;   line-height: 17px; ">此邮件由评论服务自动发出，直接回复无效。</span> <a class="text_7"
22
        style="   height: 17px;   font-size: 12px;   font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC;   font-weight: 400;   color: #008760;   line-height: 17px;   margin-top: 6px;   text-decoration: none; " href="${SITE_URL}">前往博客</a> </div>
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  </div>
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</div>

展开收起

压缩版本如下（请直接使用此版本以提升加载速度）：

master.min.html

1
<div class="page flex-col"><div class="box_3 flex-col" style=" display: flex; position: relative; width: 100%; height: 206px; background: #E0F4EACC; top: 0; left: 0; justify-content: center; "><div class="section_1 flex-col" style=" background-image: url('https://img.hxrch.top/bfav256.webp'); position: absolute; border-radius: 50%; width: 152px; height: 152px; display: flex; top: 130px; background-size: cover; "></div></div><div class="box_4 flex-col" style=" margin-top: 92px; display: flex; flex-direction: column; align-items: center; "><div class="text-group_5 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; align-items: center; margin: 0 20px; "> <span class="text_1"style=" font-size: 26px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #000000; line-height: 37px; text-align: center; ">🔔你在 ${SITE_NAME} 中收到了一条新评论！</span> <span class="text_2"style=" font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #00000030; line-height: 22px; margin-top: 21px; text-align: center; ">${NICK} 在 ${SITE_NAME} 中发表了新评论</span> </div><div class="box_2 flex-row" style=" margin: 0 20px; min-height: 128px; background: #E0F4EACC; border-radius: 12px; margin-top: 34px; display: flex; flex-direction: column; align-items: flex-start; padding: 32px 16px; width: calc(100% - 40px); "><div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; margin-left: 30px; margin-bottom: 16px; "> <span class="text_3"style=" height: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #008760; line-height: 22px; ">评论者信息：</span> <span class="text_4"style=" margin-top: 6px; margin-right: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #000000; line-height: 22px; "><span>- 昵称：${NICK}</span><br><span>- IP地址：${IP}</span><br><span>- 邮箱：${MAIL}</span></span> </div><hr style=" display: flex; position: relative; border: 1px dashed #E0F4EACC; box-sizing: content-box; height: 0px; overflow: visible; width: 100%; "><div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; margin-left: 30px; "> <span class="text_3"style=" height: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #008760; line-height: 22px; ">${NICK} 的评论内容：</span> <span class="text_4"style=" margin-top: 6px; margin-right: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #000000; line-height: 22px; ">${COMMENT}</span> </div><a class="text-wrapper_2 flex-col" style=" min-width: 106px; height: 38px; background: #C0E9D6; border-radius: 32px; display: flex; align-items: center; justify-content: center; text-decoration: none; margin: auto; margin-top: 32px; " href="${POST_URL}"> <spanclass="text_5" style=" color: #008760; ">查看详情</span> </a></div><div class="text-group_6 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; align-items: center; margin-top: 34px; "> <span class="text_6"style=" height: 17px; font-size: 12px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #00000045; line-height: 17px; ">此邮件由评论服务自动发出，直接回复无效。</span> <a class="text_7"style=" height: 17px; font-size: 12px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #008760; line-height: 17px; margin-top: 6px; text-decoration: none; " href="${SITE_URL}">前往博客</a> </div></div></div>

visitor.min.html

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<div class="page flex-col"> <div class="box_3 flex-col" style=" display: flex; position: relative; width: 100%; height: 206px; background: #E0F4EACC; top: 0; left: 0; justify-content: center; "> <div class="section_1 flex-col" style=" background-image: url('https://img.hxrch.top/bfav256.webp'); position: absolute; border-radius: 50%; width: 152px; height: 152px; display: flex; top: 130px; background-size: cover; "></div> </div> <div class="box_4 flex-col" style=" margin-top: 92px; display: flex; flex-direction: column; align-items: center; "> <div class="text-group_5 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; align-items: center; margin: 0 20px; "> <span class="text_1" style=" font-size: 26px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #000000; line-height: 37px; text-align: center; ">嘿！你在 ${SITE_NAME} 中收到一条新回复。</span> <span class="text_2" style=" font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #00000030; line-height: 22px; margin-top: 21px; text-align: center; ">你之前在 ${SITE_NAME} 中的评论收到来自 ${NICK} 的回复</span> </div> <div class="box_2 flex-row" style=" margin: 0 20px; min-height: 128px; background: #E0F4EACC; border-radius: 12px; margin-top: 34px; display: flex; flex-direction: column; align-items: flex-start; padding: 32px 16px; width: calc(100% - 40px); "> <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; margin-left: 30px; margin-bottom: 16px; "> <span class="text_3" style=" height: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #008760; line-height: 22px; ">您发表的评论：</span> <span class="text_4" style=" margin-top: 6px; margin-right: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #000000; line-height: 22px; ">${PARENT_COMMENT}</span> </div> <hr style=" display: flex; position: relative; border: 1px dashed #E0F4EACC; box-sizing: content-box; height: 0px; overflow: visible; width: 100%; "> <div class="text-wrapper_4 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; margin-left: 30px; "> <span class="text_3" style=" height: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFang-SC-Bold, PingFang-SC; font-weight: bold; color: #008760; line-height: 22px; ">${NICK} 给您回复啦：</span> <span class="text_4" style=" margin-top: 6px; margin-right: 22px; font-size: 16px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #000000; line-height: 22px; ">${COMMENT}</span> </div> <a class="text-wrapper_2 flex-col" style=" min-width: 106px; height: 38px; background: #C0E9D6; border-radius: 32px; display: flex; align-items: center; justify-content: center; text-decoration: none; margin: auto; margin-top: 32px; " href="${POST_URL}"> <span class="text_5" style=" color: #008760; ">查看详情</span> </a> </div> <div class="text-group_6 flex-col justify-between" style=" display: flex; flex-direction: column; align-items: center; margin-top: 34px; "> <span class="text_6" style=" height: 17px; font-size: 12px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #00000045; line-height: 17px; ">此邮件由评论服务自动发出，直接回复无效。</span> <a class="text_7" style=" height: 17px; font-size: 12px; font-family: PingFangSC-Regular, PingFang SC; font-weight: 400; color: #008760; line-height: 17px; margin-top: 6px; text-decoration: none; " href="${SITE_URL}">前往博客</a> </div> </div></div>

有了邮件通知内容模板之后，就可以继续完善刚才的配置了：在 Twikoo 管理面板中的配置管理 选项卡下的 邮件通知 中配置如下选项：

选项	内容
MAIL_SUBJECT	您在 Horean’s Blog 上的评论收到了新回复~
MAIL_TEMPLATE	<visitor.min.html中的内容>
MAIL_SUBJECT_ADMIN	Horean’s Blog 上有新评论啦~
MAIL_TEMPLATE_ADMIN	<master.min.html中的内容>

配置完成后博客的评论系统就应该可以正常运行了！可以在留言板试试评论和回复能否收到邮件通知~

遗憾的是，虽然 Twikoo 管理面板中有 导入 功能，但是不支持从 Waline 导入，所以之前的评论数据可能暂时无法迁移到这里，烦请大家谅解🙏
现在已经完成评论系统的数据迁移啦，详见数据迁移之「从 Waline 到 Twikoo」。

内容迁移#

这一步就非常简单了，基本上是无脑搬运，我们只需要注意以下两点：

新主题 Firefly 新建文章时 Frontmatter 的改变，详情参考官方文档
原主题 Redefine 与新主题 Firefly 博文中 警告/提示框等 特殊组件的使用语法和格式的不同，详情参考官网

其他问题#

KaTeX 自动标记行数#

该问题截图如下：

KaTeX 渲染问题截图

对于我这种经常发表数学文章的博主来说，博文中数学公式的渲染效果十分重要，然而在上图中每一行的最后面都多了一个行数标签，很明显这不是我想要的效果！所以这个问题不容迟疑，必须迅速解决！

显然，解决思路就是将这个行数标签设置为不可见，这里使用CSS即可，只需在 src/styles/markdown-extend.styl 文件中添加如下两行代码：

src/styles/markdown-extend.styl

1
.eqn-num
2
  display: none !important

现在问题就应该解决了！

友链页面添加排序说明#

Firefly 默认的友链页面的描述语句是 “这里是我的朋友们，欢迎互相访问交流”，我想在其下方添加说明：“此处的友情链接均以添加至本站的时间先后顺序排列~”。最开始我尝试着在原来描述语句中注入HTML代码，但是很快发现这条路不行，因为 Firefly 默认会把描述语句转换为纯文本，所以我只好找到了友链页面的源代码文件 src/pages/friends.astro，

src/pages/friends.astro展开收起

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<!-- 页面标题和描述 -->
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<div class="mb-4">
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  <div class="flex items-center gap-3 mb-3">
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    <div
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      class="h-8 w-8 rounded-lg bg-(--primary) flex items-center justify-center text-white dark:text-black/70"
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    >
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      <Icon name="material-symbols:group" class="text-[1.5rem]" />
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    </div>
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    <h1 class="text-3xl font-bold text-neutral-900 dark:text-neutral-100">
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      {title}
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    </h1>
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  </div>
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  {
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    description && (
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      <p class="text-base text-neutral-600 dark:text-neutral-400 leading-relaxed mb-4">
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        {description}
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      </p>
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    )
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  }
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  <div class="mb-8 p-4 rounded-lg bg-(--primary)/8 dark:bg-(--btn-regular-bg) border border-(--primary)/30 dark:border-none backdrop-blur-xs shadow-xs usage-info-box">
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    <div class="flex items-start gap-2">
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      <Icon name="material-symbols:info-outline" class="text-(--primary) text-lg shrink-0 mt-0.5" />
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      <p class="text-sm text-neutral-700 dark:text-neutral-200 leading-relaxed">
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        <span class="font-semibold text-(--primary)"></span>
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        此处的友情链接均以添加至本站的时间先后顺序排列~
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      </p>
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    </div>
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  </div>
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</div>

展开收起

这样就可以满足我想要的效果啦！

写在最后#

这篇文章终于要结束了，不得不说，Firefly 这个主题确实很好看，也非常实用，在我心目中已经是很高的地位了。

同时也祝这篇文章能够真正帮到那些想将个人博客迁移至 Firefly 主题的同学们，期待各位同学的博客都能长久运行٩(•̤̀ᵕ•̤́๑)ᵒᵏᵎᵎᵎᵎ

如果说上一篇文章创下了内容最长纪录，那么这篇文章又将再次打破这个纪录！

这次写的文章真的比上次还要长好多，但是写起来并不会那么累——毕竟不是数学题了！

The End

好的好的，2026年第二篇文章到此结束啦~

关于一道高一上压轴题的深度解析

Thu, 01 Jan 2026 23:45:23 GMT

已经非常非常久没有更新博客了，上一次还是在开学第一周，虽然那一次一次性更了三篇。
所以在今天，迎接2026新年的第二天，我来简单弥补一下吧。

直接进入正题！

这是我校最近一道比较有意思的数学晚测题目，这篇文章将介绍其第(3)问的三种解法，各有优劣，题面如下。

18.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=∣x+4x−5∣.(1)求函数f(x)的零点;(2)若方程f(x)=m(m>0)有四个不等实根x1,x2,x3,x4，求证：x1⋅x2⋅x3⋅x4=16;(3)在区间[1,4]上是否存在实数a,b(a<b)，使得函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的值域为[ma,mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.\begin{align} 18.&\enspace 已知定义在区间(0,+\infty)上的函数f(x)=|x+\frac{4}{x}-5|.\\ &(1)\enspace 求函数f(x)的零点;\\ &(2)\enspace 若方程f(x)=m(m>0)有四个不等实根x_1,x_2,x_3,x_4，求证：x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=16;\\ &(3)\enspace 在区间[1,4]上是否存在实数a,b(a<b)，使得函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的值域为[ma,mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. \end{align}18.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=∣x+x4−5∣.(1)求函数f(x)的零点;(2)若方程f(x)=m(m>0)有四个不等实根x1,x2,x3,x4，求证：x1⋅x2⋅x3⋅x4=16;(3)在区间[1,4]上是否存在实数a,b(a<b)，使得函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的值域为[ma,mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

函数图像的绘制#

这道题的前两问还是是挺简单的，这里就略过了，主要是我们需要先把 f(x)f(x)f(x) 的函数图像画出来，大致如下：

函数图像

当然，这个函数图像还是相当好画的，而且也只用画 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞) 上的图像。

具体来看，如果去掉绝对值，那这个函数本质上就是平移过后的“对勾函数”，所以最后加上绝对值时只需要把原来“对勾函数”图像的xxx轴下方的部分翻转上来即可。

第(1)(2)问的解答#

有函数图像即可知，第(1)问的答案应为 111 和 444。

第(2)问，我们不妨设 x1<x2<x3<x4x_1<x_2<x_3<x_4x1<x2<x3<x4，那么就只需要将四个不等实根分为两组（x1,x4x_1,x_4x1,x4 和 x2,x3x_2,x_3x2,x3），对其分别运用韦达定理即可。

第(3)问#

我们首先来分析一下这道题的大致解题思路：我们观察题目给定区间 [1,4][1,4][1,4] 上的函数图像，仅为一段连续的曲线，且在 [1,2][1,2][1,2] 上单调递增，在 [2.4][2.4][2.4] 上单调递减，恰好题目又要求 a,b∈[1,4](a<b)a,b\in [1,4]\enspace(a<b)a,b∈[1,4](a<b) 且 [a,b][a,b][a,b] 上的函数图像单调。由此观之，这题逃不开分类讨论，对此，我们需要在解题时分为两种情况：

Ⅰ.[a,b]⊆[1,2]\boldsymbol{Ⅰ.\enspace[a,b]\subseteq[1,2]}Ⅰ.[a,b]⊆[1,2]Ⅱ.[a,b]⊆[2,4]\boldsymbol{Ⅱ.\enspace[a,b]\subseteq[2,4]}Ⅱ.[a,b]⊆[2,4]

其次，需要注意的是，在区间 [1,4][1,4][1,4] 上，函数 f(x)f(x)f(x) 的解析式应写为：

f(x)=−x−4x+5,x∈[1,4]f(x)=-x-\frac{4}{x}+5,\enspace x\in[1,4]f(x)=−x−x4+5,x∈[1,4]

因为 [1,4][1,4][1,4] 这段区间内的函数图像是从xxx轴下方翻转上来的，所以我们在去绝对值时需要给解析式整体取相反数。

方法一：纯真代数#

Ⅰ. 若 [a,b]⊆[1,2][a,b]\subseteq[1,2][a,b]⊆[1,2]：#

我们不难注意到，在区间 [1,2][1,2][1,2] 上 f(x)f(x)f(x) 的函数图像是单调递增的，既然 a<ba<ba<b ，那么必然有 f(a)<f(b)f(a)<f(b)f(a)<f(b)；同时在区间 [a,b][a,b][a,b] 上函数 f(x)f(x)f(x) 的值域为 [ma,mb][ma,mb][ma,mb]，所以我们可以得到：{f(a)=ma,f(b)=mb.\left\{\begin{aligned}&f(a)=ma,\\&f(b)=mb.\end{aligned}\right.\enspace{f(a)=ma,f(b)=mb. 即：

{−a−4a+5=ma,ⅰ−b−4b+5=mb.ⅱ\left\{\begin{aligned} &-a-\frac{4}{a}+5=ma,\enspaceⅰ\\ &-b-\frac{4}{b}+5=mb.\enspaceⅱ \end{aligned}\right.⎩⎨⎧−a−a4+5=ma,ⅰ−b−b4+5=mb.ⅱ

由ⅰ式，不难得到

m=−4a2+5a−1ⅲm=-\frac{4}{a^2}+\frac{5}{a}-1\enspace\enspaceⅲm=−a24+a5−1ⅲ

既然题目要求的是 mmm 的取值范围，那我们不难联想到可以通过 ⅲ式中 aaa 的取值范围来确定 mmm 的取值范围，这里我们只需要将 1a\frac{1}{a}a1 当做一个整体，然后 mmm 就是关于 1a\frac{1}{a}a1 的二次函数了，即可利用初中知识简单求解啦。

但是现在的问题就是，我们如何求解 a\boldsymbol{a}a 的取值范围呢？

这时候我们再次审视题目条件，并结合此分类依据，可得一条重要的不等式链：

1≤a<b≤21\leq a\lt b\leq 21≤a<b≤2

到这一步思路就已经很清晰了，显然，我们需要用 a\boldsymbol{a}a 来表示 b\boldsymbol{b}b，这样我们就可以得到一条只含未知数 aaa 的不等式链了，那么求解 aaa 的取值范围不就轻而易举了吗？

为此，我们再回到最初的方程组，我们发现这两个方程形式相近，很难不想把它们相加或相减，所以我们进行以下操作：

ⅰ + ⅱ，得 −a−b−4a−4b+10=ma+mb-a-b-\frac{4}{a}-\frac{4}{b}+10=ma+mb−a−b−a4−b4+10=ma+mb，即 −(a+b)−4(a+b)ab+10=m(a+b)-(a+b)-\frac{4(a+b)}{ab}+10=m(a+b)−(a+b)−ab4(a+b)+10=m(a+b)，此时再将等式两边同除以 (a+b)(a+b)(a+b)，整理得：
m=−1−4ab+10a+bⅳm=-1-\frac{4}{ab}+\frac{10}{a+b}\enspace\enspaceⅳm=−1−ab4+a+b10ⅳ
ⅰ - ⅱ，得 −a+b−4a+4b=ma−mb-a+b-\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=ma-mb−a+b−a4+b4=ma−mb，即 −(a−b)+4(a−b)ab=m(a−b)-(a-b)+\frac{4(a-b)}{ab}=m(a-b)−(a−b)+ab4(a−b)=m(a−b)，此时再将等式两边同除以 (a−b)(a-b)(a−b)，整理得：

m=−1+4abⅴm=-1+\frac{4}{ab}\enspace\enspaceⅴm=−1+ab4ⅴ

这时候我们通过 ⅳ式和 ⅴ式的等量代换，可以轻松得到 −1−4ab+10a+b=−1+4ab-1-\frac{4}{ab}+\frac{10}{a+b}=-1+\frac{4}{ab}−1−ab4+a+b10=−1+ab4，整理得：

b=4a5a−4b=\frac{4a}{5a-4}b=5a−44a

将这一结果代入刚才的不等式链，得：

1≤a<4a5a−4≤21\leq a\lt\frac{4a}{5a-4}\leq 21≤a<5a−44a≤2

解这一不等式链，最终可得：

43≤a<85\frac{4}{3}\leq a\lt\frac{8}{5}34≤a<58

所以：

58<1a≤34\frac{5}{8}\lt\frac{1}{a}\leq\frac{3}{4}85<a1≤43

此时我们已经求出 1a\frac{1}{a}a1 的取值范围了！将其代入 ⅲ式的二次函数，可得：

12≤m<916\boxed{\frac{1}{2}\leq m\lt\frac{9}{16}}21≤m<169

Ⅱ. 若 [a,b]⊆[2,4][a,b]\subseteq[2,4][a,b]⊆[2,4]：#

区别于第 Ⅰ 类，由于 f(x)f(x)f(x) 的函数图像在区间 [2,4][2,4][2,4] 上是单调递减的，所以最初的方程组应为 {f(a)=mb,f(b)=ma.\left\{\begin{aligned}&f(a)=mb,\\&f(b)=ma.\end{aligned}\right.\enspace{f(a)=mb,f(b)=ma. 即：

{−a−4a+5=mb,ⅵ−b−4b+5=ma.ⅶ\left\{\begin{aligned} &-a-\frac{4}{a}+5=mb,\enspaceⅵ\\ &-b-\frac{4}{b}+5=ma.\enspaceⅶ \end{aligned}\right.⎩⎨⎧−a−a4+5=mb,ⅵ−b−b4+5=ma.ⅶ

但这时候，我们很难像第 Ⅰ 类一样迅速用 aaa 表示出 mmm 了，看起来目标就不太明确了——但是别急！虽然第一步完成不了，但这依旧不妨碍我们先做后面的步骤。

同样地，我们有：

2≤a<b≤42\leq a\lt b\leq 42≤a<b≤4

ⅵ + ⅶ，整理得：

m=−1−4ab+10a+bⅷm=-1-\frac{4}{ab}+\frac{10}{a+b}\enspace\enspaceⅷm=−1−ab4+a+b10ⅷ

ⅵ - ⅶ，整理得： −m=−1+4abⅸ-m=-1+\frac{4}{ab}\enspace\enspaceⅸ−m=−1+ab4ⅸ

ⅷ + ⅸ，整理得：

a+b=5\boxed{a+b=5}a+b=5

天啊😱，我们惊奇地发现 aaa 与 bbb 的和竟然是个常数！这可是天大的好消息啊，如此一来，我们就可以用 bbb 代换 aaa，也可以用 aaa 来代换 bbb 了。

那么 ⅵ式就可以转化为：

−a−4a+5=m(5−a)-a-\frac{4}{a}+5=m(5-a)−a−a4+5=m(5−a)

用 aaa 来表示 mmm，即：

m=1+4a2−5aⅹm=1+\frac{4}{a^2-5a}\enspace\enspaceⅹm=1+a2−5a4ⅹ

同时我们将 b=a−5b=a-5b=a−5 代入上面的不等式链，可得：

2≤a<5−a≤42\leq a\lt 5-a\leq 42≤a<5−a≤4

解得：

2≤a<522\leq a\lt\frac{5}{2}2≤a<25

根据二次函数的性质，可得：

−6≤a2−5a<−254-6\leq a^2-5a\lt -\frac{25}{4}−6≤a2−5a<−425

代入 ⅹ式，最终可得：

13≤m<925\boxed{\frac{1}{3}\leq m\lt\frac{9}{25}}31≤m<259

综上所述：#

我们已经分类讨论完了两种不同情况，最后将两种情况的结果取并集，得到整道题的最终答案：

m∈[13,925)∪[12,916)\boxed{\large{m\in[\frac{1}{3},\frac{9}{25})\cup[\frac{1}{2},\frac{9}{16})}}m∈[31,259)∪[21,169)

方法二：同构方程#

Ⅰ. 若 [a,b]⊆[1,2][a,b]\subseteq[1,2][a,b]⊆[1,2]：#

与方法一类似，我们不难得到这样一组方程：

{−a−4a+5=ma,−b−4b+5=mb.\left\{\begin{aligned} &-a-\frac{4}{a}+5=ma,\\ &-b-\frac{4}{b}+5=mb. \end{aligned}\right.⎩⎨⎧−a−a4+5=ma,−b−b4+5=mb.

接下来，区别于方法一的点在于，我们不直接用其中一个未知量去表示另一个，而是——构建一个新的一元二次方程！为什么可以这样呢？因为我们发现这个方程组中两个方程的形式完全一样，只有未知量不同，所以我们可以把这两个未知量 aaa 和 bbb 看作是如下方程的两个不等实根：

−x−4x+5=mx-x-\frac{4}{x}+5=mx−x−x4+5=mx

将它整理为我们熟悉的一元二次方程，此处同时设该方程一般式等号左边为新函数 g(x)g(x)g(x)：

g(x)=(m+1)x2−5x+4=0g(x)=(m+1)x^2-5x+4=0g(x)=(m+1)x2−5x+4=0

这时候这道题就已经转化为一元二次方程中根的分布的问题了，在此题条件下，该一元二次方程要在区间 [1,2][1,2][1,2] 中有两个不等实根。

到这里，又由于 m≥0m\geq0m≥0（因为在区间 [1,2][1,2][1,2] 上函数 f(x)f(x)f(x) 的图像在xxx轴上或其上方即 f(a)=ma≥0,f(b)=mb≥0f(a)=ma\geq 0,f(b)=mb\geq 0f(a)=ma≥0,f(b)=mb≥0，又因为 a,ba,ba,b 为正数，所以 m≥0m\geq 0m≥0），所以该方程二次项系数为正，那么我们就可以直接列出下列不等式组啦：（其中 −−52(m+1)-\frac{-5}{2(m+1)}−2(m+1)−5 为 g(x)g(x)g(x) 函数图像即抛物线的对称轴的横坐标）

{Δ>0,g(1)≥0,g(2)≥0,1<−−52(m+1)<2.\left\{\begin{aligned} &\Delta\gt 0,\\ &g(1)\geq 0,\\ &g(2)\geq 0,\\ &1\lt -\frac{-5}{2(m+1)}\lt 2. \end{aligned}\right.⎩⎨⎧Δ>0,g(1)≥0,g(2)≥0,1<−2(m+1)−5<2.

解该不等式组，可得：

12≤m<916\boxed{\frac{1}{2}\leq m\lt\frac{9}{16}}21≤m<169

Ⅱ. 若 [a,b]⊆[2,4][a,b]\subseteq[2,4][a,b]⊆[2,4]：#

同样地，我们先列出方程组：

{−a−4a+5=mb,−b−4b+5=ma.\left\{\begin{aligned} &-a-\frac{4}{a}+5=mb,\\ &-b-\frac{4}{b}+5=ma. \end{aligned}\right.⎩⎨⎧−a−a4+5=mb,−b−b4+5=ma.

与方法一的第 Ⅱ 类情况相同，我们可以得到：

a+b=5\boxed{a+b=5}a+b=5

经过代换，于是：

{−a−4a+5=m(5−a),−b−4b+5=m(5−b).\left\{\begin{aligned} &-a-\frac{4}{a}+5=m(5-a),\\ &-b-\frac{4}{b}+5=m(5-b). \end{aligned}\right.⎩⎨⎧−a−a4+5=m(5−a),−b−b4+5=m(5−b).

同构：

−x−4x+5=m(5−x)-x-\frac{4}{x}+5=m(5-x)−x−x4+5=m(5−x)

整理并设该一元二次方程一般式等号左边为新函数 h(x)h(x)h(x)：

h(x)=(m−1)x2−5(m−1)x−4=0h(x)=(m-1)x^2-5(m-1)x-4=0h(x)=(m−1)x2−5(m−1)x−4=0

与第 Ⅰ 类不同的是，我们现在不能马上判断出该方程二次项系数 m−1m-1m−1 的正负，所以——这里我们可以尝试利用反证法的思路。

假设 m=1m=1m=1：

则 h(x)=−4≠0h(x)=-4\neq 0h(x)=−4=0，与题意矛盾，故 m≠1m\neq 1m=1
假设 m>1m>1m>1：

因为 a+b=5,a,b∈[2,4],a<ba+b=5,\enspace a,b\in[2,4],\enspace a\lt ba+b=5,a,b∈[2,4],a<b，所以不妨取 a=2,b=3a=2,b=3a=2,b=3，又因为 f(a)=mbf(a)=mbf(a)=mb，所以 f(2)=3m>3f(2)=3m\gt 3f(2)=3m>3；

而由 f(x)f(x)f(x) 原解析式 f(x)=∣x+4x−5∣f(x)=|x+\frac{4}{x}-5|f(x)=∣x+x4−5∣ 可知 f(2)=1<3f(2)=1\lt 3f(2)=1<3；

两者矛盾，故 m≤1m\leq 1m≤1

综上所述，m<1m<1m<1 即 m−1<0m-1<0m−1<0.

至此，我们已较为简便地判断出了该方程二次项系数为负，接下来就同第 Ⅰ 类，可以直接列出下列一元二次方程根的分布不等式组了：（其中 −−5(m−1)2(m−1)-\frac{-5(m-1)}{2(m-1)}−2(m−1)−5(m−1) 为 h(x)h(x)h(x) 函数图像即抛物线的对称轴的横坐标）

{Δ>0h(2)≤0h(4)≤02<−−5(m−1)2(m−1)<4\left\{\begin{aligned} &\Delta\gt 0\\ &h(2)\leq0\\ &h(4)\leq0\\ &2\lt -\frac{-5(m-1)}{2(m-1)}\lt 4 \end{aligned}\right.⎩⎨⎧Δ>0h(2)≤0h(4)≤02<−2(m−1)−5(m−1)<4

解该不等式组，可得：

13≤m<925\boxed{\frac{1}{3}\leq m\lt\frac{9}{25}}31≤m<259

综上所述：#

分类讨论结束后，我们同样对两个结果取并集：

m∈[13,925)∪[12,916)\boxed{\large{m\in[\frac{1}{3},\frac{9}{25})\cup[\frac{1}{2},\frac{9}{16})}}m∈[31,259)∪[21,169)

方法三：数形结合#

这一种方法的名字一听就很特别吧，那当然——因为这一方法是我博主本人想到的！在班上分享完后还被老师夸了呢！

这一种方法不需要几何脑，也不需要代数脑，几何代数它都只各沾了一点边，所以用这种方法就可以嘲讽出题老师没有水平显得这道题比较简单。

分类讨论之前，我们不妨先在 f(x)f(x)f(x) 的函数图像上取两个点 A(a,f(a)),B(b,f(b))A(a,f(a)),\enspace B(b,f(b))A(a,f(a)),B(b,f(b)).（a,ba,ba,b 均为题中所给的未知量）

Ⅰ. 若 [a,b]⊆[1,2][a,b]\subseteq[1,2][a,b]⊆[1,2]：#

因为在此区间内 f(x)f(x)f(x) 单调递增，所以 {f(a)=ma,f(b)=mb.\left\{\begin{aligned}&f(a)=ma,\\&f(b)=mb.\end{aligned}\right.{f(a)=ma,f(b)=mb.，那么就有：

A(a,ma),B(b,mb)A(a,ma),\enspace B(b,mb)A(a,ma),B(b,mb)

可以得到直线 ABABAB 的解析式为：

lAB:y=mxl_{AB}:y=mxlAB:y=mx

不难发现，直线 ABABAB 始终经过原点，为正比例函数，而且其斜率为 mmm。那么接下来就好办了，我们只需要让直线 ABABAB 与 y=f(x),x∈[1,2]y=f(x),\enspace x\in[1,2]y=f(x),x∈[1,2] 的图像（这一段图像下文简称“曲线”）恰好有两个交点，即符合题意。那我们不妨先把草图画出来：

方法三-第 Ⅰ 类

通过草图，我们可以发现：在直线 ABABAB 与曲线相切时其斜率取到最大值，在经过点 (2,1)(2,1)(2,1) 时其斜率取到最小值。

这么看来，我们只需要分别求出直线 ABABAB 在与曲线相切和经过点 (2,1)(2,1)(2,1) 时的斜率即可求出 mmm 的取值范围。

与曲线相切：
mx=f(x),x∈[1,2]mx=f(x),\enspace x\in[1,2]mx=f(x),x∈[1,2]
转化为一元二次方程，即：
(m+1)x2−5x+4=0(m+1)x^2-5x+4=0(m+1)x2−5x+4=0
这个方程看起来是不是有点眼熟？没错，它就是方法二第 Ⅰ 类所构造出的方程！但是在这里，我们只需要令其判别式等于零即可求出相切情况的斜率。

最终解得：
m=916\boxed{m=\frac{9}{16}}m=169
经过点 (2,1)(2,1)(2,1)：
2m=12m=12m=1
解得：
m=12\boxed{m=\frac{1}{2}}m=21

最后⚠️注意一下边界情况：相切时直线 ABABAB 与曲线有且仅有一个交点，不合题意，所以 mmm 不能取到 916\frac{9}{16}169；相对地，当直线 ABABAB 经过点 (2,1)(2,1)(2,1) 时，它与曲线仍有两个交点，所以 mmm 可以取到 12\frac{1}{2}21.

所以：

12≤m<916\boxed{\frac{1}{2}\leq m\lt\frac{9}{16}}21≤m<169

Ⅱ. 若 [a,b]⊆[2,4][a,b]\subseteq[2,4][a,b]⊆[2,4]：#

此区间内 f(x)f(x)f(x) 单调递减，所以有：

A(a,mb),B(b,ma)A(a,mb),\enspace B(b,ma)A(a,mb),B(b,ma)

同样可以得到直线 ABABAB 的解析式：

lAB:y=−mx+m(a+b)l_{AB}:y=-mx+m(a+b)lAB:y=−mx+m(a+b)

这时候我们发现，这一个解析式只是看上去的话，并没有什么特别的，也不过什么定点之类的。然而，你应该也已经知道了，我们前两种方法都有提到如下等式：

a+b=5\boxed{a+b=5}a+b=5

没错，这时候我们的思路仍然同方法一的第 Ⅱ 类情况，即可得到上面 a+b=5a+b=5a+b=5 这个恒等式。接下来就简单很多啦，把 a+b=5a+b=5a+b=5 代入直线 ABABAB 的解析式并整理，可得：

lAB:y=−m(x−5)l_{AB}:y=-m(x-5)lAB:y=−m(x−5)

我们同样惊奇地发现：直线 ABABAB 经过定点 (5,0)\boldsymbol{(5,0)}(5,0)，而且其斜率为 −m-m−m，好办了！依照题意，我们同样只需要让直线 ABABAB 和 y=f(x),x∈[2,4]y=f(x),\enspace x\in[2,4]y=f(x),x∈[2,4] 的函数图像（这段图像下文简称曲线）恰好有两个交点。所以先把草图画出来：

方法三-第 Ⅱ 类

与第 Ⅰ 类类似，我们可以发现：在直线 ABABAB 与曲线相切时其斜率的绝对值取到最大值，在经过点 (2,1)(2,1)(2,1) 时其斜率的绝对值取到最小值。

分别如下：

与曲线相切：
−m(x−5)=f(x)-m(x-5)=f(x)−m(x−5)=f(x)
转化为一元二次方程，即：
(m−1)x2−5(m−1)x−4=0(m-1)x^2-5(m-1)x-4=0(m−1)x2−5(m−1)x−4=0
这个方程依然与方法二第 Ⅱ 类所构造出的方程相同！同样我们只需令其判别式等于零，解得：
m=925\boxed{m=\frac{9}{25}}m=259
经过点 (2,1)(2,1)(2,1)：
−m(2−5)=1-m(2-5)=1−m(2−5)=1
解得：
m=13\boxed{m=\frac{1}{3}}m=31

边界情况：根据草图，可以得知同样为相切时的 925\frac{9}{25}259 不能取，而经过点 (2,1)(2,1)(2,1) 时的 13\frac{1}{3}31 可以取到。

所以：

13≤m<925\boxed{\frac{1}{3}\leq m\lt\frac{9}{25}}31≤m<259

综上所述：#

对两类情况的结果取并集，得到最终答案：

m∈[13,925)∪[12,916)\boxed{\large{m\in[\frac{1}{3},\frac{9}{25})\cup[\frac{1}{2},\frac{9}{16})}}m∈[31,259)∪[21,169)

后记#

这道题的三种解法到这里就分享完了，它们都各有优劣：

对于方法一：这一种方法通常适合有计算天赋的同学，其优点是无需过多思考，仅计算；缺点就是对于数学计算功底不佳的同学不友好。
对于方法二：该方法适合思维灵活的同学使用，通过观察多条方程式之间的关系与特点来构造新的方程，属于创新了，但其对思维灵活性要求较高。
对于方法三：这种方法适合思维比较灵活或擅长几何的同学使用，需要善于发现代数式与图像之间的联系，但通常计算量最小。

总体来说，这一道题目的价值还是非常高的，对同学们的思维训练效果极佳，值得同学们一试！

Typora这里显示这篇文章已经四千六百多词了，算是到目前我写过的最长的文章了，但是真的太累了！！！花了我差不多半天时间才写完，结果还要制作封面，生成摘要等等……好苦啊😭😭😭

不过想想这才是2026年的第二天，时间换来质量，我相信这一篇高质量文章一定会给未来带来好运的！💪

2025 Weekly Diary 1st

Sat, 06 Sep 2025 14:58:13 GMT

这篇文章亦为新高一开学第一周的英语作业（老师说周记还配不上作业），要求写一篇英文周记，日后也会成为常规作业，所以每周都要写新的周记。以下为博主所著原版。

It’s somewhere familiar to me. The campus didn’t vary a lot but my attitude towards school has changed. It’s the truth I cannot evit that I must be well prepared to confront the coming life of senior high.

Although the first week has gone and certainly it won’t come back, a variety of events happened within this week are still vivid in my mind. Of all those things, I appreciate the maths class of Mr. Zhong most for the reason that he always has lessons in a genuinely fun way, which makes the whole class veiled under a convivial atmosphere. What impressed me most in Mr. Zhong’s class were the “triangle into square” event while learning the necessary and sufficient condition. He just wrote a silly statement by mistake!

Some other things that fascinated me are also related to my new teacher, Doris. Leaping to the eyes were five enormous letters DORIS carved on the screen the moment Doris switches to the next slide of PPT. They separately stand for five different meanings. Those are determination, optimistic, resilience, inspiration and success. It’s said additionally that if we perform the first four ones well, we’ll easily receive the last one “success”! However, I still have a question about why the last one isn’t some of the advanced vocabulary?

These are all the content of my first weekly diary in the brand new semester. Look forward to the better future!

为了进一步提高我的英语写作水平，我把这篇短文交给了DeepL Write，让它来提出一些修改建议，如下（包括修改截图和修改后的文章）。

修改截图

改后文章：

It’s a place that feels familiar to me. The campus hasn’t changed much, but my attitude towards school has. I cannot deny that I must be well prepared for the challenges of senior high school life.

Although the first week has gone, the variety of events that happened this week are still vivid in my mind, even though it certainly won’t come back. Of all of these, I enjoyed Mr Zhong’s maths class the most because he always teaches in a genuinely fun way, creating a convivial atmosphere in the whole class. The “triangle into square” event while learning the necessary and sufficient condition impressed me the most in Mr Zhong’s class. He made a silly mistake and wrote something incorrect!

Other things that fascinated me are also related to my new teacher, Doris. The moment Doris switched to the next slide of PPT, five enormous letters spelling DORIS leapt into view. They stand for five different meanings: These are determination, optimism, resilience, inspiration and success. It’s also said that if we perform well in the first four areas, success will easily follow! However, I still have a question: why isn’t the last one considered advanced vocabulary?

This is all the content of my first weekly diary in the brand new semester. I look forward to a better future!

这一周就先这样收尾吧（虽然还有明天周日一天），期待精彩的下一周！

老师二三事

Sat, 06 Sep 2025 07:39:48 GMT

《老师二三事》一篇为新高一第一周语文作业，完成后顺便以博客为载体发表，文章不长，浅读即可。

三角形如何成为正方形？这看上去十分可笑。不过这正是二十一班与钟老师的羁绊。

钟进均老师，高中数学正高级教师，已独立出版书籍五本，内容涵盖他在课上经常提到的“说数学”“写数学”等，同时作为我们年级的主任，见到他的机会自然不少。

但就相处的这一周来看，没有什么事情是比他的数学课堂更精彩的了！你可能很好奇，一个扁扁的椭园能代表什么？在其两侧添加一对花括号又是什么？那当然是“0”和“{0}”！一个数字零，一个含元素零的集合。就这样一件小事，不仅迅速地将同学们引入正题，同时达到了烘托班内学习氛围的效果。这，就是钟老师给人的第一印象。

钟老师似乎并不会在任何时候感到尴尬。究其原因：一次数学课堂上，同学们正积极地发表自己对一道习题的看法，当我们大声喊出意中所想的答案B时，却未曾料到钟老师以如此严肃的表情、干脆利落的话音喝道：“那就错！选C！”班内气氛忽然凝固起来。你猜怎么着？突如其来的死寂立刻被打破——因为这道题的答案十分显眼地摆在了屏幕上：就是选B！然而看似钟老师被PPT打脸了，实则他轻易化解了这道难题：“我是想告诉你们不要选了错误答案C！”这件事就这么过去了，到最后也没人笑出来。

当然最经典的还得属钟老师的必杀技：指鹿为马！在我们学充分条件和必要条件时，钟老师本是出于便于同学们理解的目的，为我们板书了一道命题。可这内容瞬间引得全班哄堂大笑：若ΔABC是正方形，则……这真是数学一大奇迹啊。高中这段旅程才刚刚开始，接下来的三年还有待探索，属于钟老师和我们师生间的羁绊也才是建立初期，相信未来一定会更加有趣、更加美好！

新高一，新题型

Sat, 06 Sep 2025 03:23:49 GMT

这是开学第一周，刚刚经历过七天军训和五天集训的同学们，似乎心中并无太大波澜，毕竟暑假的结束，并不是我不愿意、你不愿意就可以逃避了的。所以抱有最佳的精神状态迎接新的高中生活是非常有必要的。

按照本校惯例，新高一即便是开学第一周也需要进行周测——数学周测。怎么一上来就已经开始考验了？并没有人知晓，只是平静地随时间而去，人人都只想换来一份开门红，我亦不例外。

话都说到这儿了，这篇文章的主题应该十分明确吧——那就是对第一周数学周测卷的全面复盘！

这里可以先给大家看一下整一幅卷面：

周测卷前两页

周测卷后一页

因为通常数学周测是在周二下午进行的，所以实际上在本次周测前我只上了两节数学课，但得益于我们优秀的数学老师钟老师（高中正高级教师呢）的高效教学，集合这一块我们班只花了一节半课时便掌握了，足以证明我们班学习效率之高，当然另外半节课是作为新高一礼物的吹水环节。

忘记说了，整一份卷子的总分是90，其中还是有许多我没见过的新题型的，然而我仅仅只是达到了钟老师眼中的及格线80分往上一点，82分（比我预估中的满分差了一些😢），但人不可能总是完美的，所以适当给予自己一些容错空间也并非什么不好的事情，与此同时也暴露出了我的一些问题，包括做题习惯。

就如第11题，这道题其实对于普通学生来说也很简单，只需简单分类讨论即可解出，只不过是步骤麻烦了一些，同时也存在更大的局限性（？）——相比技巧穿针引线法来说逊色了不少：我们只需先令不等式左侧等于 000 求出其根，然后开始穿线，这里就不再过多介绍了。这种方法是很容易掌握的，但是问题就出现在读图过程中，既然是要求大于或等于 000 ，那么就必须考虑等于 000 的情况，即当 x=1x=1x=1 时。故这道小题的最终答案应为 (−∞,−1]∪[3,+∞)∪{1}(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\cup\{1\}(−∞,−1]∪[3,+∞)∪{1}。一道填空题5分啊啊啊啊啊，这分丢得太心痛了……

我的唯二失分中另一处就是第13题的第(2)小问了，这个的失分原因很简单，就是没有检验，没有真正做到所谓的边做边检查，以至于最后多写了范围……应为 a∈(1,+∞)a\in (1,+\infty)a∈(1,+∞)，就没有后面的 −3-3−3 和 925\frac{9}{25}259 了。

总之以上两道错题都可以归结为非智力因素错误，这是考试中最最最忌讳的情况，今后必须要尽可能减少这类错误，当然没有是再好不过的了！

最后其实还有一道题我比较想在这里提一下，就是14题的第(3)小问，虽然这一道题我拿了满分，但是我个人认为它还是比较有价值的，值得鉴赏。这一小问看似困难，实则只需要我们找到任意一个突破口即可轻松拿捏~

这里再复述一下题面：

14.已知集合A包含有n(n∈N∗)个元素，A∗={x+y∣x,y∈A}.(1)若A={0,1,2}，写出A∗;(2)写出一个A∗，使得A=A∗;(3)当n=4时，是否存在集合A，使得A∗={2,3,5,6,7,8,10}？若存在，请求出此时的集合A；若不存在，请说明理由.\begin{align} 14.&\enspace 已知集合A包含有n(n\in\mathbf{N^*})个元素，A^*=\{x+y|x,y\in A\}.\\ &(1)\enspace 若A=\{0,1,2\}，写出A^*;\\ &(2)\enspace 写出一个A^*，使得A=A^*;\\ &(3)\enspace 当n=4时，是否存在集合A，使得A^*=\{2,3,5,6,7,8,10\}\mathrm{？}若存在，请求出此时的集合A；若不存在，请说明理由. \end{align}14.已知集合A包含有n(n∈N∗)个元素，A∗={x+y∣x,y∈A}.(1)若A={0,1,2}，写出A∗;(2)写出一个A∗，使得A=A∗;(3)当n=4时，是否存在集合A，使得A∗={2,3,5,6,7,8,10}？若存在，请求出此时的集合A；若不存在，请说明理由.

其中前两小问还算是比较简单的，不过要在第(1)小问拿到满分，就必须写全集合内容，需要注意 x\boldsymbol{x}x 和 y\boldsymbol{y}y 是可以相等的，其他内容就不再过多赘述了，答案如下。

解：(1)A∗={0,1,2,3,4}(2)当A∗={0}时，A=A∗\begin{align} 解\mathrm{：}&(1)\enspace A^*=\{0,1,2,3,4\}\\ &(2)\enspace 当A^*=\{0\}时，A=A^* \end{align}解：(1)A∗={0,1,2,3,4}(2)当A∗={0}时，A=A∗

接下来是第(3)小题，这篇文章我将介绍两种不同的解法，都有可学习之处和参考价值：

解法 Ⅰ#

这一类解法是老师同学们普遍认可的，其因是比较容易理解，步骤也较为简单。

根据题意，我们可以知道集合AAA中存在4个元素，那我们不妨设 A={a,b,c,d}(a,b,c,d∈R)A=\{a,b,c,d\}\enspace(a,b,c,d\in\mathbf{R})A={a,b,c,d}(a,b,c,d∈R)，使得 a<b<c<da<b<c<da<b<c<d，那么再根据不等关系，可得如下不等式链：

2a<a+b<2b<b+c<2c<c+d<2d2a<a+b<2b<b+c<2c<c+d<2d2a<a+b<2b<b+c<2c<c+d<2d

并且我们可以知道，对于集合A∗A^*A∗中的元素ttt，有 tmin=2a,tmax=2dt_{min}=2a,t_{max}=2dtmin=2a,tmax=2d，且次小的元素为 a+ba+ba+b，次大的元素为 c+dc+dc+d，由此我们可以列出如下方程组并解出 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 的值：

{2a=2,a+b=3,c+d=8,2d=10⇒{a=1,b=2,c=3,d=5\left\{\begin{aligned} &2a=2,\\ &a+b=3,\\ &c+d=8,\\ &2d=10 \end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned} &a=1,\\ &b=2,\\ &c=3,\\ &d=5 \end{aligned}\right.⎩⎨⎧2a=2,a+b=3,c+d=8,2d=10⇒⎩⎨⎧a=1,b=2,c=3,d=5

故此时集合AAA应为{1,2,3,5}\{1,2,3,5\}{1,2,3,5}，然而当我们取 x=1,y=3x=1,y=3x=1,y=3 时，会得到 x+y=4x+y=4x+y=4，即应有 4∈A∗4\in A^*4∈A∗，但这与题目条件矛盾，所以不存在符合题意的集合AAA！

解法 Ⅱ#

这一种解法是博主本人在考场上想出来的，虽然并不比上一种解法简单，但是依然值得一看。

这一种做法的切入点就在于二倍关系，我们从题目条件中可知，集合AAA所有的元素的二倍都属于集合A∗A^*A∗（x=yx=yx=y 时），数学语言表示如下：

∀a∈A,2a∈A∗\forall a\in A,\enspace 2a\in A^*∀a∈A,2a∈A∗

所以结合这个二倍关系和偶数的性质，我以集合AAA中的元素是否全为整数为依据进行如下分类讨论：

当集合AAA中的元素全为整数，即 ∀a∈A,a∈Z\forall a\in A,\enspace a\in\mathbf{Z}∀a∈A,a∈Z 时，因为 2a∈A∗2a\in A^*2a∈A∗，所以集合A∗A^*A∗应该至少含有4个偶数，而我们又发现集合A∗A^*A∗中恰好含有4个偶数：2,6,8,102,6,8,102,6,8,10，故集合AAA可以确定下来，即

A={1,3,4,5}A=\{1,3,4,5\}A={1,3,4,5}

与上一种解法同理，当 x=1,y=3x=1,y=3x=1,y=3 时，x+y=4,4∈A∗x+y=4,\enspace 4\in A^*x+y=4,4∈A∗，与题目条件矛盾，故此分类不存在对应集合AAA.

当集合AAA中的元素不全为整数，即 ∃a∈A,a∉Z\exists a\in A,\enspace a\notin \mathbf{Z}∃a∈A,a∈/Z 时，又因为 2a∈A∗2a\in A^*2a∈A∗，所以 ∃2a∈A∗,2a∉{t∣t=2m,m∈Z}\exists 2a\in A^*,\enspace 2a\notin\{t|t=2m,m\in\mathbf{Z}\}∃2a∈A∗,2a∈/{t∣t=2m,m∈Z}，用自然语言来描述即：我们在集合A∗A^*A∗中任选4个元素，但其中至少有一个元素不是偶数，则这些元素的一半的集合就是AAA，但是由于 card(A∗)=7\mathrm{card}(A^*)=7card(A∗)=7 （集合A∗A^*A∗的元素个数为7），且其中有且仅有3个非偶数元素，所以在满足条件的情况下，我们任选的4个元素之中有至少一个偶数元素，所以此时集合AAA中至少有一个整数元素，即 ∃a∈A,a∈Z\exists a\in A,\enspace a\in \mathbf{Z}∃a∈A,a∈Z.

整合一下以上所得信息，可知此分类下的集合AAA中至少存在一个整数元素，也至少存在一个非整数元素，那么接下来我们只需令其中一个整数元素为 xxx，其中一个非整数元素记为 yyy，则必然有 (x+y)∉Z(x+y) \notin \mathbf{Z}(x+y)∈/Z，即集合A∗A^*A∗中存在非整数元素，但这与题目条件矛盾，故此分类不存在对应集合AAA.

综上所述，不存在符合题意的集合AAA！

到这里，整张卷就复盘得差不多了，其中新题型确实不少，虽然大部分都做对了，但还是必须再次强调一下应尽量避免非智力因素错误的题目，这样失分实在太冤了！对于最后一题，第二种解法可能会更加难理解，这里可以作为一种思维的拓展，了解即可。

希望自己能够更上一层楼，期待下一周的周测！

好题评估——2025 广州中考第 25 题

Fri, 08 Aug 2025 02:52:28 GMT

写在前面#

首先我想对大家说一声抱歉哈，这篇文章我已经拖了非常非常久了，因为是中考题，所以其实我早就定稿这篇文章了，只是最近忙这些其他事情没来得及在博客上发布。今天好不容易有空，就想着先把这篇文章给补了。

这一道题是2025年的广州市中考真题，也因为我恰好就是2025届广州中考生，才更能体会这道题的含金量，于是考虑记录此篇。

在正式阅读本篇文章之前，建议提前学习双动线段比例最值问题——反演变换（2）。

真题再现#

以下2025年广州市中考第25题题面。

真题展示

第（1）问太简单了，就是个尺规作图题，这里不做过多介绍了。

第（2）题第①小问#

其中第（2）问呢，又被分为两个小问①②，那我们就先来看第①小问：是一道证明题，要求我们证明两个三角形相似。既然是这样，那无非就是“两角”“两边夹一角”和“边边边”了，但是由于题目中已经给出了一对现成的相似三角形 △ABC∽△FCE\triangle ABC\backsim\triangle FCE△ABC∽△FCE，所以我们需要先把角导明白，毕竟能直接用角相等证明相似肯定比用边要方便很多。

那我们不妨设 ∠BAC=α,∠ACB=β\angle BAC=\alpha,\angle ACB=\beta∠BAC=α,∠ACB=β，由题目中所给的相似，可得 ∠CFE=α,∠CEF=β\angle CFE=\alpha,\angle CEF=\beta∠CFE=α,∠CEF=β，再由外角的性质，可得 ∠ACE=α+β\angle ACE=\alpha+\beta∠ACE=α+β，所以 ∠BCE=∠ACE−∠ACB=(α+β)−β=α\angle BCE=\angle ACE-\angle ACB=(\alpha+\beta)-\beta=\alpha∠BCE=∠ACE−∠ACB=(α+β)−β=α，到了这时候，我们不难发现需要证明相似的两个三角形已经被推出一个角相等了，那这道题就算是完成 13\frac{1}{3}31 了，接下来该怎么做呢？

应该很容易发现，除了刚刚的 ∠BCE\angle BCE∠BCE，我们无法进一步推导出其他 △CBE\triangle CBE△CBE 中的角了，所以我们得换种思路，来看最开始提到的证明两个三角形相似的三种方法，其中“两角”和“边边边”都已经被排除了，所以将目光锁定在“两边夹一角”身上，目前我们所需要做的就是证明与这个角相邻的两条边与对应三角形的两条边分别成比例，（这句话可能有点长，我来用数学语言描述一下，即需要证明 ABCB=ACCE\frac{AB}{CB}=\frac{AC}{CE}CBAB=CEAC），如何呢？

还是题目所给的相似三角形，只需提取其中有关边的条件即可，即由 △ABC∽△FCE\triangle ABC\backsim\triangle FCE△ABC∽△FCE，得 ABCF=BCCE\frac{AB}{CF}=\frac{BC}{CE}CFAB=CEBC，将该比例等式进行变形，得到 ABCB=CFCE\frac{AB}{CB}=\frac{CF}{CE}CBAB=CECF。

诶？为什么我感觉我们所得到的比例式与需要证明的极其相似，但……还是不一样？

——原来是我们遗漏了一个重要条件！CF=ACCF=ACCF=AC！这样一来，我们即可通过“两边夹一角”证明这道题啦~

来看一下完整过程：

设∠BAC=α,∠ACB=β∵△ABC∽△FCE∴∠CFE=∠BAC=α,∠CEF=∠BCA=β∴∠ACE=∠F+∠CEF=α+β∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=(α+β)−β=α∵△ABC∽△FCE∴ABCF=BCCE即ABCB=CFCE又∵CF=AC∴ABCB=ACCE又∵∠BAC=∠BCE=α∴△ABC∽△CBE\begin{align} &设\angle BAC=\alpha,\angle ACB=\beta\\ &\because\triangle ABC\backsim\triangle FCE\\ &\therefore\angle CFE=\angle BAC=\alpha,\angle CEF=\angle BCA=\beta\\ &\therefore\angle ACE=\angle F+\angle CEF=\alpha +\beta\\ &\therefore\angle BCE=\angle ACE-\angle ACB=(\alpha +\beta)-\beta=\alpha\\ &\because\triangle ABC\backsim\triangle FCE\\ &\therefore\frac{AB}{CF}=\frac{BC}{CE}\\ &即\frac{AB}{CB}=\frac{CF}{CE}\\ &又\because CF=AC\\ &\therefore\frac{AB}{CB}=\frac{AC}{CE}\\ &又\because\angle BAC=\angle BCE=\alpha\\ &\therefore\triangle ABC\backsim\triangle CBE \end{align}设∠BAC=α,∠ACB=β∵△ABC∽△FCE∴∠CFE=∠BAC=α,∠CEF=∠BCA=β∴∠ACE=∠F+∠CEF=α+β∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=(α+β)−β=α∵△ABC∽△FCE∴CFAB=CEBC即CBAB=CECF又∵CF=AC∴CBAB=CEAC又∵∠BAC=∠BCE=α∴△ABC∽△CBE

小结一下第①小问，整体上还是相对简单的，只需要我们打开思维，灵活且充分地运用题目条件即可证明。

第（2）题第②小问#

方法Ⅰ#

到了这一问，事情就开始复杂起来了。

这图形看上去的确是一线三等角模型，但是这似乎对我们解题并没有帮助，况且这类求动点运动轨迹的题目十分少见。

没办法，不是模型题，身处考场的我，只能开启思维迸发模式了——因为在开始做这一小问时，我只剩下10分钟左右的时间了。

我先从角的条件入手，企图可以直接求出点B的运动轨迹，但我很快发现，无论是从大题干给出的条件，还是上一小问所得的信息，都无法直接推出我想要的东西。此时已经过去了一两分钟了，在反复确认这个方法行不通后，我转变了新航道，把目光转移到“边”的身上，诶，还真就有新的发现！

因为需要利用边的条件，就只能从题目中所给出的相似三角形中推，而在第（2）问大题干中的一组相似 △ABC∽△FCE\triangle ABC\backsim\triangle FCE△ABC∽△FCE 就已经可以推出一个很关键的条件：CB=AC⋅CEEFCB=AC\cdot\frac{CE}{EF}CB=AC⋅EFCE，又因为 ACACAC 是常量，所以 CB=4CEEFCB=\frac{4CE}{EF}CB=EF4CE，到这里，整道题的解法就已经初见端倪了——一条动线段 CBCBCB 的长度被转化为另外两条共顶点动线段之比 CEEF\frac{CE}{EF}EFCE 的倍数，是不是有点familiar（熟悉）的味道了呢？（参考双动线段比例最值问题——反演变换（2））

没错，到这一步这道题就基本上解决了，因为后面的步骤就是之前所讲的模型了！利用圆幂定理反A相似，即可顺利地将两个变量减少为一个，并且是建立在可以用已知运动轨迹的点 EEE 上求解的单线段最值问题。下面就直接看完整过程吧。

方法Ⅰ

作△ACE的外接圆⊙M交EF于点N，连接AM,AN,MN,CM.∵△ABC∽△FCE∴BCCE=ACFE即BCAC=CEEF,BC=AC⋅CEEF=4CEEF在⊙M中，∠FAN=∠FEC又∵∠F=∠F∴△FAN∽△FEC∴AFEF=ANCE即4CEEF=4ANAF∵CF=AC=4∴AF=CF+AC=4+4=8∴4CEEF=4AN8=AN2已知点N在⊙M上运动∴在△AMN中，AN≤AM+MN在⊙M中，∠AEC=45°∴∠AMC=2∠AEC=2×45°=90°又∵AM=CM∴∠MAC=45°∴在Rt△AMC中，cos⁡45°=AMAC=22即AM=22AC=22×4=22∴MN=AM=22∴AN≤AM+MN=22+22=42即4CEEF=AN2≤22即CB≤22∴CB的最大值为22\begin{align} &作\triangle ACE的外接圆\odot M交EF于点N，连接AM,AN,MN,CM.\\ &\because\triangle ABC\backsim\triangle FCE\\ &\therefore\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{FE}\\ &即\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{EF},BC=AC\cdot\frac{CE}{EF}=\frac{4CE}{EF}\\ &在\odot M中，\angle FAN=\angle FEC\\ &又\because\angle F=\angle F\\ &\therefore\triangle FAN\backsim\triangle FEC\\ &\therefore\frac{AF}{EF}=\frac{AN}{CE}\\ &即\frac{4CE}{EF}=\frac{4AN}{AF}\\ &\because CF=AC=4\\ &\therefore AF=CF+AC=4+4=8\\ &\therefore\frac{4CE}{EF}=\frac{4AN}{8}=\frac{AN}{2}\\ &已知点N在\odot M上运动\\ &\therefore 在\triangle AMN中，AN\leq AM+MN\\ &在\odot M中，\angle AEC=45\degree\\ &\therefore\angle AMC=2\angle AEC=2\times 45\degree=90\degree\\ &又\because AM=CM\\ &\therefore\angle MAC=45\degree\\ &\therefore 在\mathrm{Rt}\triangle AMC中，\cos{45\degree}=\frac{AM}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &即AM=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 4=2\sqrt{2}\\ &\therefore MN=AM=2\sqrt{2}\\ &\therefore AN\leq AM+MN= 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\ &即\frac{4CE}{EF}=\frac{AN}{2}\leq 2\sqrt{2}\\ &即CB\leq 2\sqrt{2}\\ &\therefore CB的最大值为2\sqrt{2} \end{align}作△ACE的外接圆⊙M交EF于点N，连接AM,AN,MN,CM.∵△ABC∽△FCE∴CEBC=FEAC即ACBC=EFCE,BC=AC⋅EFCE=EF4CE在⊙M中，∠FAN=∠FEC又∵∠F=∠F∴△FAN∽△FEC∴EFAF=CEAN即EF4CE=AF4AN∵CF=AC=4∴AF=CF+AC=4+4=8∴EF4CE=84AN=2AN已知点N在⊙M上运动∴在△AMN中，AN≤AM+MN在⊙M中，∠AEC=45°∴∠AMC=2∠AEC=2×45°=90°又∵AM=CM∴∠MAC=45°∴在Rt△AMC中，cos45°=ACAM=22即AM=22AC=22×4=22∴MN=AM=22∴AN≤AM+MN=22+22=42即EF4CE=2AN≤22即CB≤22∴CB的最大值为22

当然，以上还只是套用了模型的最初思路，虽然可以解出这道题，但还是有可以改进的点的：就如我们可以通过导角直接证明 △ABC∽△FNA\triangle ABC\backsim\triangle FNA△ABC∽△FNA，得到 BCAN=ACAF=12AN\frac{BC}{AN}=\frac{AC}{AF}=\frac{1}{2}ANANBC=AFAC=21AN 一步到位，可以极大地简化了步骤，进一步节约时间。

只可惜我在考场上并没有写完过程😭(┬＿┬)

方法Ⅱ#

鉴于官方做法为直接求出点 BBB 的运动轨迹，以及互联网上大部分的解题思路也是如此，这里也就简单提一下。

在前面讲方法Ⅰ的时候已经提到过，整个图形中并没有现成的与线段 CBCBCB 相关的定角来求出点 BBB 所在的轨迹圆（题目中没有说，但是这种情况下点 BBB 的轨迹大概率就是一个圆了，考场上可以任取几点观察，因为目前中考几何题目中的动点运动轨迹只能是直线或圆），所以轮到我们添辅助线了~

注意到整道大题的第（1）问要求的尺规作图~~（注意力惊人）~~，本质上是倍长中线！其实相当于给了我们一个小小的提示，那么在这一小问当中，也可以连接并倍长线段 BOBOBO 转化角的条件，最后其实是可以证明 ∠OBC=45°\angle OBC=45\degree∠OBC=45° 的，定弦定角便可以确定点 BBB 的运动轨迹了！

请看完整过程。

方法Ⅱ

延长BO至点H，使得OH=OB，作△OBC的外接圆⊙M，连接CH,OM,BM,CM.∵O为AC中点∴AO=CO∴在△AOB和△COH中，{AO=CO,∠AOB=∠COH,OB=OH∴△AOB≅△COH(SAS)∴AB=CH,∠BAO=∠HCO∵△ABC∽△CBE∴∠BAC=∠BCE∴∠HCO=∠BCE∴∠HCO+∠ACB=∠BCE+∠ACB即∠BCH=∠ECA∵△ABC∽△FCE∴BCCE=ABCF又∵CF=AC,AB=CH∴BCCE=CHAC∴△BCH∽△ECA∴∠CBH=∠CEA=45°即∠OBC=45°∴在⊙M中，∠OMC=2∠OBC=2×45°=90°∵OM=CM∴∠MOC=45°∴在Rt△OMC中，sin⁡45°=CMOC=22∴CM=22OC=22×12AC=22×12×4=2∴BM=CM=2在△BCM中，CB≤CM+BM=2+2=22即CB的最大值为22\begin{align} &延长BO至点H，使得OH=OB，作\triangle OBC的外接圆\odot M，连接CH,OM,BM,CM.\\ &\because O为AC中点\\ &\therefore AO=CO\\ &\therefore 在\triangle AOB和\triangle COH中，\\ &\left\{\begin{aligned} &AO=CO,\\ &\angle AOB=\angle COH,\\ &OB=OH &\end{aligned}\right.\\ &\therefore\triangle AOB\cong\triangle COH(SAS)\\ &\therefore AB=CH,\angle BAO=\angle HCO\\ &\because\triangle ABC\backsim\triangle CBE\\ &\therefore\angle BAC=\angle BCE\\ &\therefore\angle HCO=\angle BCE\\ &\therefore\angle HCO+\angle ACB=\angle BCE+\angle ACB\\ &即\angle BCH=\angle ECA\\ &\because\triangle ABC\backsim\triangle FCE\\ &\therefore\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{CF}\\ &又\because CF=AC,AB=CH\\ &\therefore\frac{BC}{CE}=\frac{CH}{AC}\\ &\therefore\triangle BCH\backsim\triangle ECA\\ &\therefore\angle CBH=\angle CEA=45\degree\\ &即\angle OBC=45\degree\\ &\therefore在\odot M中，\angle OMC=2\angle OBC=2\times 45\degree=90\degree\\ &\because OM=CM\\ &\therefore\angle MOC=45\degree\\ &\therefore在\mathrm{Rt}\triangle OMC中，\sin{45\degree}=\frac{CM}{OC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &\therefore CM=\frac{\sqrt{2}}{2}OC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}\times 4=\sqrt{2}\\ &\therefore BM=CM=\sqrt{2}\\ &在\triangle BCM中，CB\leq CM+BM=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\ &即CB的最大值为2\sqrt{2} \end{align}延长BO至点H，使得OH=OB，作△OBC的外接圆⊙M，连接CH,OM,BM,CM.∵O为AC中点∴AO=CO∴在△AOB和△COH中，⎩⎨⎧AO=CO,∠AOB=∠COH,OB=OH∴△AOB≅△COH(SAS)∴AB=CH,∠BAO=∠HCO∵△ABC∽△CBE∴∠BAC=∠BCE∴∠HCO=∠BCE∴∠HCO+∠ACB=∠BCE+∠ACB即∠BCH=∠ECA∵△ABC∽△FCE∴CEBC=CFAB又∵CF=AC,AB=CH∴CEBC=ACCH∴△BCH∽△ECA∴∠CBH=∠CEA=45°即∠OBC=45°∴在⊙M中，∠OMC=2∠OBC=2×45°=90°∵OM=CM∴∠MOC=45°∴在Rt△OMC中，sin45°=OCCM=22∴CM=22OC=22×21AC=22×21×4=2∴BM=CM=2在△BCM中，CB≤CM+BM=2+2=22即CB的最大值为22

总结#

那么广州中考第25题的评估就结束啦~

我们也可以从中得到一些启发，像这样一道压轴题，出题人肯定是会给我们一些提示的（但不保证100%），以后做题应仔细观察题面（审题），充分利用题目所给的条件和其他默认已知信息，往往可以事半功倍！

我的个人主页搭建记录

Fri, 01 Aug 2025 00:08:12 GMT

写在前面#

终于迎来了这一天！
我拥有了自己的个人主页~
tips: https://www.hxrch.top

以下为内心独白：

我想说的

👉点我访问👈

👉点我跳转👈

👉点我观摩👈

👉点我欣赏👈

👉点我模仿👈

👉点我嘲讽👈

嘲讽完了，现在来进入正题。

灵感💡#

这件事情已经是拖了很久的了。自我个人博客刚在Vercel部署后的一两个月（2023.10左右），我就开始盘算着，何时我也能有一个属于自己的个人主页，相当于一个自己的互联网名片，当时就是觉得搭建一个个人主页可以大大提升我自身的成就感，且不亚于搭建个人博客所带来的。

但是这样的想法似乎并没有持续多久——因为当时我已经深深地被florr.io这款页游深深的吸引住了，也是从那时起，我开始了为数不多的剪辑工作，在B站投稿了我的第一条视频。在我沉迷这款游戏的那段日子里，我每次打开电脑时，身体都会不受控制地玩起了florr，可能是由于那种矛盾心理的存在，在做个人开发与玩游戏之间，相信大多数人也都会选择放弃个人开发，毕竟哪会有人能抵得住玩游戏这一比较放松的事情啊。为我自己开发一个个人主页网站的任务就这么被搁置了。

这一放，就是近乎两年。

早在2024年2月这个正值春节喜庆氛围的日子里，我的florr账号就已被Permanently Ban（永久封禁）了，原因是共号被举报了。我当时也确实没有明白凭什么一个小小的页游都要把共号这件事抓得这么严，甚至到了封号的地步，人家很多大型游戏都没有这样的限制，但这事过都过了，也没什么需要阐明的了。

账号被封了后，我特别难受，总感觉放不下这事，我当时又去测了一遍MBTI，我甚至直接从e人变成了i人！！（虽然我本来也并没有特别e）

而2025年开始，我就不得不忙于中考的备考事务了，中考前的八九个月我已全面停止开发及维护任何项目。换来的是还算不错的中考成绩。

虽然中考后的这个暑假是基本没有作业的（只是初中学校没有，高中学校还是稍微布置了一些，Emmm即便我初高中是在同一所学校），我正打算开发一个个人主页，但是由于我太热爱数学了，中考完后仍然不肯放下，即便不是数竞生也想表达一下自己~~（又菜又爱玩）~~，于是放假后接触电脑的时间大部分都花在了写数学相关的文章上面。到目前也就发表了三四篇文章，应该没什么人看，但是我个人觉得还是成就感满满的。

那么回到正题，为自己搭建个人主页这件事就这样一直拖延到了2025年7月29日的晚上，也就是三天前。最开始我在考虑是否需要我自己从零开始写代码：排版布局、做样式、写交互……然而我很快找到了反驳这一做法的至少三点理由：

自己从零开始写代码耗时太长，耗费精力多，后续维护难度大；
由于中考这一年我几乎没有写过代码，CSS样式等可能有所遗忘或技术退步；
我当时还没有想明白具体要开发什么风格的个人主页，页面结构也还没有定稿；

现在选择就很明确了，我只能利用一些现成的个人主页模板或进行改编，在互联网上一番探索后，找到了一些我比较欣赏的：

权朝阳 | 矩阵革命，这位不得不提，真的是前端方面的大奆佬，尤其是TA的个人主页2.0版本的设计，通过3D立体视觉效应配合鼠标滚轮动画，绝对是一流的。相比之下，我的能力还是太太太有限了~~（其实并不能相提并论）~~。

权朝阳 | 矩阵革命

SimonAKing，这位的前端技术也比较强，尤其是TA主页的背景动画设计十分艳丽，而且还是交互式的，用户可以通过鼠标拖动来激活这些样式。

SimonAKing

Zyyo，这一位的个人页面并没有很突出，但是各样式布局都还算是不错的，页面整体比较有规划。这也是我目前正在使用的一款开源项目，这款个人页面的开发者还提供了加收¥20的带后台的PHP版本，但我觉得我并不需要，就以我目前的前端能力来说。开源地址在这里：https://github.com/ZYYO666/homepage/.

Zyyo

我的灵感💡由此迸发~

于是我就开始改造改项目，没有Fork，在原版的基础上稍微改了改一些样式：就如黑夜模式的背景逻辑被我改为不再是纯黑色，而是另一张背景图，我个人觉得还是不错的（虽然用的是本博客主页的黑夜模式的同一个背景图），加上了原有的高斯模糊，整个页面看起来还是挺秀的。

此外左下角的个人事件时间轴也花费了我很大心思。为了尽可能追根溯源我在互联网上的痕迹，我不得不去各大与开发相关的网站中寻找注册时间等等，甚至如Vercel这一种找不到注册时间的，只能回头翻我的邮箱收件箱了T_T，好在我几乎没有删过邮件，像这些验证码、注册的邮件的保存还是挺不错的。

当然还有许多我对这款个人主页的小改造，此处予以省略……

成果🍎#

由此一来，个人主页在经过我的修修补补后大功告成了！地址为https://www.hxrch.top，以下为效果图。

Horean's Site

持续完善

后续还会有对个人主页的持续优化，包括但不限于页面结构、页面样式等，大家记得常来呀٩(•̤̀ᵕ•̤́๑)ᵒᵏᵎᵎᵎᵎ

双动线段比例最值问题——反演变换（2）

Fri, 25 Jul 2025 12:53:49 GMT

这篇文章勉强算是反演变换的续章吧，建议提前阅读上一篇，点我阅读。

受2025年广州市中考第25题第(3)小问启发，作此篇讲解“双动线段比例最值问题”的通解，当然后续也会出一篇文章单独讲解这一道题。

详解#

本文所指的双动线段指的是两条有一公共动点为顶点、另一点为定点的线段，其中公共动点在一固定轨迹上（直线或圆）运动，数学语言表示如下。

平面内有两定点 A,BA,BA,B 和一动点 PPP，其中点 PPP 的运动轨迹已知（直线或圆），连接 AP,BPAP,BPAP,BP，请求出 APBP\frac{AP}{BP}BPAP 的最大值和最小值.

由题，我们可以将其分为以下四种情况讨论：

第Ⅰ类#

点 PPP 在不经过 A,BA,BA,B 的直线 lll 上运动

第Ⅰ类

不要紧张，想必很多人刚看到这幅图，都会觉得惊讶：为什么看起来如此简单的线段比例求最值问题的图示这么复杂？

也请不要着急质疑，因为我也觉得这看起来有点小题大做了，不过请大家仔细往下看。

（解题思路） 我们并没有学过在几何中如何求解动线段比例最值，那我们就可以考虑能否将这个未知而陌生的题目转化为我们已经掌握的模型呢？——其实是可以的：APBP\frac{AP}{BP}BPAP 的分子和分母都是两个变量，那其实可以考虑把其中一个变为常量，这样题目就被转化为一条线段的最值问题了！

思路很好，那如何实践？

那当然是构造相似三角形（母子相似）！

此时所求代数式已经由两个变量转化为一个变量了，但是图中会多出一个新的动点。要求解一条以该动点为顶点的线段的最值，只需将其运动轨迹求出来就行了，这时候只需要利用反演变换，这道题就易如反掌~

证明如下。

在PB上取一点H，使得∠BAH=∠APB，连接AH,AB，过点B作BG⊥l于点G，并在其延长线上取一点K，使得∠BHK=90°，取BK中点O，连接OH，射线AO交⊙O于点H1,H2.∵∠ABH=∠PBA,∠BAH=∠BPA∴△ABH∽△PBA∴ABPB=BHAB,AHAP=ABBP即BH⋅BP=AB2,APBP=AHAB∵∠PBG=∠KBH,∠BGP=∠BHK=90°∴△PBG∽△KBH∴PBKB=BGBH即BG⋅BK=BH⋅BP=AB2∵A,B为定点∴AB2为定值，BG⋅BK为定值又∵BG为定值∴BK为定值在Rt△BHK中，O为BK中点∴OH=12BK=OB=OK∴点H在以O为圆心，OB为半径的圆上运动∴在△AOH中，AH≤AO+OH=OH2,AH≥AO−OH=AH即AHmax=AH2,AHmin=AH1∵APBP=AHAB∴(APBP)max=AH2AB,(APBP)min=AH1AB\begin{align} &在PB上取一点H，使得\angle BAH=\angle APB，连接AH,AB，过点B作BG\perp l于点G，并在其延长线上取一点K，使得\angle BHK=90\degree，取BK中点O，连接OH，射线AO交\odot O于点H_1,H_2.\\ &\because\angle ABH=\angle PBA,\angle BAH=\angle BPA\\ &\therefore\triangle ABH\backsim\triangle PBA\\ &\therefore\frac{AB}{PB}=\frac{BH}{AB},\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{BP}\\ &即BH\cdot BP=AB^2,\frac{AP}{BP}=\frac{AH}{AB}\\ &\because\angle PBG=\angle KBH,\angle BGP=\angle BHK=90\degree\\ &\therefore\triangle PBG\backsim\triangle KBH\\ &\therefore\frac{PB}{KB}=\frac{BG}{BH}\\ &即BG\cdot BK=BH\cdot BP=AB^2\\ &\because A,B为定点\\ &\therefore AB^2为定值，BG\cdot BK为定值\\ &又\because BG为定值\\ &\therefore BK为定值\\ &在\mathrm{Rt}\triangle BHK中，O为BK中点\\ &\therefore OH=\frac{1}{2}BK=OB=OK\\ &\therefore 点H在以O为圆心，OB为半径的圆上运动\\ &\therefore 在\triangle AOH中，AH\leq AO+OH=OH_2,AH\geq AO-OH=AH\\ &即AH_{max}=AH_2,AH_{min}=AH_1\\ &\because\frac{AP}{BP}=\frac{AH}{AB}\\ &\color{red}{\therefore(\frac{AP}{BP})_{max}=\frac{AH_2}{AB},(\frac{AP}{BP})_{min}=\frac{AH_1}{AB}} \end{align}在PB上取一点H，使得∠BAH=∠APB，连接AH,AB，过点B作BG⊥l于点G，并在其延长线上取一点K，使得∠BHK=90°，取BK中点O，连接OH，射线AO交⊙O于点H1,H2.∵∠ABH=∠PBA,∠BAH=∠BPA∴△ABH∽△PBA∴PBAB=ABBH,APAH=BPAB即BH⋅BP=AB2,BPAP=ABAH∵∠PBG=∠KBH,∠BGP=∠BHK=90°∴△PBG∽△KBH∴KBPB=BHBG即BG⋅BK=BH⋅BP=AB2∵A,B为定点∴AB2为定值，BG⋅BK为定值又∵BG为定值∴BK为定值在Rt△BHK中，O为BK中点∴OH=21BK=OB=OK∴点H在以O为圆心，OB为半径的圆上运动∴在△AOH中，AH≤AO+OH=OH2,AH≥AO−OH=AH即AHmax=AH2,AHmin=AH1∵BPAP=ABAH∴(BPAP)max=ABAH2,(BPAP)min=ABAH1

看到这里，不知道你有什么感想，看似复杂的图形，实际上思路和步骤都非常简洁，并没有那么夸张。

有的同学就要说了，像这种题在坐标系里面代数不是很快就解决了吗？嗯，是这样的，但是这里分享几何做法主要是为了开拓大家的眼界和对此种题目的看法，真正遇到时拥有多一个选择，做到灵活运用。

但不可否认地，这一种利用相似转化和反演变换的做法不一定是几何做法中的最优解，但是我暂时没有找到比这更好的做法了，所以目前还是以此为标准几何法。

特殊情况#

如果有同学想知道若点 A,BA,BA,B 分别在直线 lll 的两侧改怎么办，那就把“将军饮马”这四个字甩到他脸上^_^，因为只需要将其中一点关于直线 lll 作对称就可以了，这与将军饮马的思路完全没有差别。

第Ⅱ类#

点 PPP 在不经过 A,BA,BA,B 的 ⊙M\odot M⊙M 上运动

第Ⅱ类-复杂的做法

是不是看起来更乱了？

这幅图其实是第Ⅰ类解题方法的变体，思路可以说是完全一致，只是运用到的反演变换模型由“线生线”变成了“圆生圆”。

但是在这里，我们并不需要这么复杂地来解，因为对于这一类，有比直接运用反演变换求动点轨迹更简洁的方法，详情见下。当然如果你愿意，也可以照着第Ⅰ类的思路理解它的原理。

第Ⅱ类-更为简单的做法

这一种做法并没有直接运用反演变换，而是汲取了反演变换的转化思想，同样是构造相似三角形，但不同点在于直接利用圆幂定理，不仅将两个变量减少为一个，还满足了变量所含动点的轨迹已知的完美条件，是天赐的好机会啊！

还不知道圆幂定理是什么的同学，那你一定没有看上一篇反演变换的文章💢，或者你想直接看有关圆幂定理的介绍？

这种做法证明如下。

记射线AP与⊙M另一交点为P′，在射线AB上取一点H，使得∠AP′H=∠B，连接P′M,P′H，作射线HM交⊙M于点P1′,P2′.∵∠P′AH=∠BAP,∠AP′H=∠ABP∴△P′AH∽△BAP∴AP′AB=AHAP即AB⋅AH=AP′⋅AP在⊙M中，记其半径为r，根据圆幂定理得AP′⋅AP=AM2−r2其中AM和r都是定值∴AP′⋅AP为定值即AB⋅AH为定值又∵AB为定值∴AH为定值∵△P′AH∽△BAP∴AHAP=P′HBP即APBP=AHP′H在△MP′H中，P′H≤MP′+MH=P2′H,P′H≥MH−MP′=P1′H∴(AHP′H)min=AHP2′H,(AHP′H)max=AHP1′H即(APBP)max=AHP1′H,(APBP)min=AHP2′H\begin{align} &记射线AP与\odot M另一交点为P'，在射线AB上取一点H，使得\angle AP'H=\angle B，连接P'M,P'H，作射线HM交\odot M于点P'_1,P'_2.\\ &\because\angle P'AH=\angle BAP,\angle AP'H=\angle ABP\\ &\therefore\triangle P'AH\backsim\triangle BAP\\ &\therefore\frac{AP'}{AB}=\frac{AH}{AP}\\ &即AB\cdot AH=AP'\cdot AP\\ &在\odot M中，记其半径为r，根据圆幂定理\\ &得AP'\cdot AP=AM^2-r^2\\ &其中AM和r都是定值\\ &\therefore AP'\cdot AP为定值\\ &即AB\cdot AH为定值\\ &又\because AB为定值\\ &\therefore AH为定值\\ &\because\triangle P'AH\backsim\triangle BAP\\ &\therefore\frac{AH}{AP}=\frac{P'H}{BP}\\ &即\frac{AP}{BP}=\frac{AH}{P'H}\\ &在\triangle MP'H中，P'H\leq MP'+MH=P'_2H,P'H\geq MH-MP'=P'_1H\\ &\therefore (\frac{AH}{P'H})_{min}=\frac{AH}{P'_2H},(\frac{AH}{P'H})_{max}=\frac{AH}{P'_1H}\\ &\color{red}{即(\frac{AP}{BP})_{max}=\frac{AH}{P'_1H},(\frac{AP}{BP})_{min}=\frac{AH}{P'_2H}} \end{align}记射线AP与⊙M另一交点为P′，在射线AB上取一点H，使得∠AP′H=∠B，连接P′M,P′H，作射线HM交⊙M于点P1′,P2′.∵∠P′AH=∠BAP,∠AP′H=∠ABP∴△P′AH∽△BAP∴ABAP′=APAH即AB⋅AH=AP′⋅AP在⊙M中，记其半径为r，根据圆幂定理得AP′⋅AP=AM2−r2其中AM和r都是定值∴AP′⋅AP为定值即AB⋅AH为定值又∵AB为定值∴AH为定值∵△P′AH∽△BAP∴APAH=BPP′H即BPAP=P′HAH在△MP′H中，P′H≤MP′+MH=P2′H,P′H≥MH−MP′=P1′H∴(P′HAH)min=P2′HAH,(P′HAH)max=P1′HAH即(BPAP)max=P1′HAH,(BPAP)min=P2′HAH

总的来说，这一种做法巧妙地运用圆幂定理构造相似，以极大地减少步骤。

特殊情况#

相比第Ⅰ类的特殊情况，这一类会稍微复杂一些，可能会出现点 A,BA,BA,B 都在 ⊙M\odot M⊙M 内、其中两点分别在圆内和圆外两种情况。

经实践，发现其解决方案也大差不差，几乎没有改动，以上详细证明过程似乎仍然有效，见下图。

第Ⅱ类-特殊情况

大家可以对照着普通情况的思路尝试自行推导，难度应该是不大的。

第Ⅲ类#

点 PPP 在经过 A,BA,BA,B 其中一点的圆或直线上运动

这一类看似困难，实则异常简单。

我们只需关注 APBP\frac{AP}{BP}BPAP 这一所求代数式：

若点 AAA 在点 PPP 的运动轨迹上，则按照前两类的对应方法正常求解。
若点 BBB 在点 PPP 的运动轨迹上，则代数式 APBP\frac{AP}{BP}BPAP 没有最大值，因为 BPBPBP 可以无限趋近但不等于于 000，这会使得代数式 APBP\frac{AP}{BP}BPAP 的值无穷大。

第Ⅳ类#

点 PPP 在经过 A,BA,BA,B 两点的圆或直线上运动

这一类就没必要讲了吧，与第Ⅲ类的思路相近对所求代数式 APBP\frac{AP}{BP}BPAP 进行简单分析即可。

总结#

这篇文章的知识应该不算难，大家可以多次食用，若有不懂之处可以在下方评论区相互讨论，也可发表问题，我将会在看到消息后第一时间回复。

其实，对于第Ⅰ类的辅助线构造方式，我还编了一个小口诀**“弟弟心动”**，是谐音为*“顶定新动”*，意即构造的母子相似的公共顶角应该靠在定边 ABABAB 上，构造出的新点 HHH 应该在动边 APAPAP 或者 BPBPBP 上，这样可以省去做题时试错的时间，极大地减少做题失误，就可以提高我们的解题效率了！

浅谈圆幂定理

Sun, 20 Jul 2025 08:29:30 GMT

考虑到有的同学可能没有了解过圆幂定理，特地花此篇章简易说明，更详细的内容请自行查阅互联网。

圆幂定理在网上的说法很纷杂，各种教科书上的表述也不尽相同。这里取其中常见的一种说法来讲解。

即圆幂定理是相交弦定理、切割线定理和割线定理三者的统一。

前置知识#

在后文对切割线定理的证明叙述时需要利用弦切角定理，故在此予以证明。

顾名思义，弦切角定理的内容应该与圆上一弦和切线的夹角有关，以下先给出其定义。

（弦切角定理） 平面上有一个圆心为 OOO、半径为 rrr 的圆，⊙O\odot O⊙O 外有一点 PPP，过点 PPP 的直线切 ⊙O\odot O⊙O 于点 TTT，在 ⊙O\odot O⊙O 上取点 A,BA,BA,B，连接 AB,AT,BTAB,AT,BTAB,AT,BT，则有 ∠ATP=∠ABT\angle ATP=\angle ABT∠ATP=∠ABT，如图所示.

证明如下。

延长AO交⊙O于点C，连接OT,CT.∵点P切⊙O于点T∴∠OTP=90°∵AC为直径∴∠ATC=90°∴∠OTP=∠ATC即∠OTP−∠ATO=∠ATC−∠ATO∴∠ATP=∠OTC∵OC=OT∴∠OCT=∠OTC又∵∠OCT=∠ABT∴∠ATP=∠ABT\begin{align} &延长AO交\odot O于点C，连接OT,CT.\\ &\because 点P切\odot O于点T\\ &\therefore\angle OTP=90\degree\\ &\because AC为直径\\ &\therefore\angle ATC=90\degree\\ &\therefore\angle OTP=\angle ATC\\ &即\angle OTP-\angle ATO=\angle ATC-\angle ATO\\ &\therefore\angle ATP=\angle OTC\\ &\because OC=OT\\ &\therefore\angle OCT=\angle OTC\\ &又\because\angle OCT=\angle ABT\\ &\therefore\angle ATP=\angle ABT \end{align}延长AO交⊙O于点C，连接OT,CT.∵点P切⊙O于点T∴∠OTP=90°∵AC为直径∴∠ATC=90°∴∠OTP=∠ATC即∠OTP−∠ATO=∠ATC−∠ATO∴∠ATP=∠OTC∵OC=OT∴∠OCT=∠OTC又∵∠OCT=∠ABT∴∠ATP=∠ABT

定义#

我们可以先来看点对圆的幂。

平面内有一 ⊙O\odot O⊙O，其半径为 rrr，对平面上任意一点 PPP，记 Pow(P)=OP2−r2\mathrm{Pow}(P)=OP^2-r^2Pow(P)=OP2−r2 为点P对 ⊙O\odot O⊙O 的幂。

通过这个定义，我们知道任意点对圆的幂可为正负零，还可以推出点对圆的幂与该点和圆的位置关系：

Pow(P)=OP2−r2{>0 ⟺ 点P在⊙O外=0 ⟺ 点P在⊙O上<0 ⟺ 点P在⊙O内\mathrm{Pow}(P)=OP^2-r^2\left\{\begin{aligned}&>0\iff点P在\odot O外\\&=0\iff点P在\odot O上\\&<0\iff点P在\odot O内\end{aligned}\right.Pow(P)=OP2−r2⎩⎨⎧>0⟺点P在⊙O外=0⟺点P在⊙O上<0⟺点P在⊙O内

当然也有一个很显然的结论：Pow(P)=Pow(Q) ⟺ OP=OQ\mathrm{Pow}(P)=\mathrm{Pow}(Q)\iff OP=OQPow(P)=Pow(Q)⟺OP=OQ.

由此一来，圆幂定理就可以这样表述：

（圆幂定理） 给定 ⊙O\odot O⊙O 和点 PPP，过点 PPP 作 ⊙O\odot O⊙O 的任意一条割线（或切线）PABPABPAB 与 ⊙O\odot O⊙O 分别交于 A,BA,BA,B，则 PA‾⋅PB‾\overline{PA}\cdot\overline{PB}PA⋅PB 是一个常量，而这个常量正是点 PPP 对 ⊙O\odot O⊙O 的幂，即 PA‾⋅PB‾=Pow(P)\overline{PA}\cdot\overline{PB}=\mathrm{Pow}(P)PA⋅PB=Pow(P).

证明#

Ⅰ.相交弦定理#

（相交弦定理） 如图所示，点 PPP 在 ⊙O\odot O⊙O 内部，AB,CDAB,CDAB,CD 为过点 PPP 的两条弦，则有 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PDPA⋅PB=PC⋅PD.

证明如下。

连接AD,BC.在⊙O中，∠ADC=∠ABC即∠ADP=∠CBP又∵∠APD=∠CPB∴△APD∽△CPB∴APCP=PDPB即PA⋅PB=PC⋅PD\begin{align} &连接AD,BC.\\ &在\odot O中，\angle ADC=\angle ABC\\ &即\angle ADP=\angle CBP\\ &又\because\angle APD=\angle CPB\\ &\therefore\triangle APD\backsim\triangle CPB\\ &\therefore\frac{AP}{CP}=\frac{PD}{PB}\\ &即PA\cdot PB=PC\cdot PD \end{align}连接AD,BC.在⊙O中，∠ADC=∠ABC即∠ADP=∠CBP又∵∠APD=∠CPB∴△APD∽△CPB∴CPAP=PBPD即PA⋅PB=PC⋅PD

那为什么会满足 Pow(P)=−PA⋅PB=−PC⋅PD\mathrm{Pow}(P)=-PA\cdot PB=-PC\cdot PDPow(P)=−PA⋅PB=−PC⋅PD 呢？

请读者看到第二幅图，当弦 CDCDCD 为直径（即 C1D1C_1D_1C1D1）时，P1C1⋅P1D1=(O1C1−O1P1)(O1D1+O1P1)=(r−O1P1)(r+O1P1)=r2−O1P12P_1C_1\cdot P_1D_1=(O_1C_1-O_1P_1)(O_1D_1+O_1P_1)=(r-O_1P_1)(r+O_1P_1)=r^2-{O_1P_1}^2P1C1⋅P1D1=(O1C1−O1P1)(O1D1+O1P1)=(r−O1P1)(r+O1P1)=r2−O1P12，这里简单利用平方差公式，然后得到 −P1A1⋅P1B1=O1P12−r2=Pow(P)-P_1A_1\cdot P_1B_1={O_1P_1}^2-r^2=\mathrm{Pow}(P)−P1A1⋅P1B1=O1P12−r2=Pow(P)，即

Pow(P)=−PA⋅PB=−PC⋅PD\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=-PA\cdot PB=-PC\cdot PD}}Pow(P)=−PA⋅PB=−PC⋅PD

我们也可以由此得知对于任意在圆内的点 PPP，其对该圆的幂为常量。

Ⅱ.切割线定理#

（切割线定理） 如图所示，点 PPP 在 ⊙O\odot O⊙O 外，PBPBPB 为过点 PPP 的割线，PTPTPT 为过点 PPP 的切线，则有 PA⋅PB=PT2PA\cdot PB=PT^2PA⋅PB=PT2.

证明如下（这里就需要用到上文前置知识所讲的弦切角定理来进行证明了）。

连接AT,BT在⊙O中，由弦切角定理得∠ATP=∠ABT又∵∠P=∠P∴△APT∽△TPB∴APTP=PTPB即PA⋅PB=PT2\begin{align} &连接AT,BT\\ &在\odot O中，由弦切角定理\\ &得\angle ATP=\angle ABT\\ &又\because\angle P=\angle P\\ &\therefore\triangle APT\backsim\triangle TPB\\ &\therefore\frac{AP}{TP}=\frac{PT}{PB}\\ &即PA\cdot PB=PT^2 \end{align}连接AT,BT在⊙O中，由弦切角定理得∠ATP=∠ABT又∵∠P=∠P∴△APT∽△TPB∴TPAP=PBPT即PA⋅PB=PT2

同上一类的相交弦定理，切割线定理与圆幂定理的联系就看第二幅图的特殊情况：割线 P1B1P_1B_1P1B1 经过点 O1O_1O1，同样利用平方差公式，可得

Pow(P)=PA⋅PB=PT2\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=PA\cdot PB=PT^2}}Pow(P)=PA⋅PB=PT2

Ⅲ.割线定理#

（割线定理） 如图所示，点 PPP 在 ⊙O\odot O⊙O 外，PB,PDPB,PDPB,PD 为过点 PPP 的两条割线，则有 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PDPA⋅PB=PC⋅PD.

证明如下。

连接AD,BC在⊙O中，∠ADC=∠ABC即∠ADP=∠CBP又∵∠P=∠P∴△ADP∽△CBP∴APCP=DPBP即PA⋅PB=PC⋅PD\begin{align} &连接AD,BC\\ &在\odot O中，\angle ADC=\angle ABC\\ &即\angle ADP=\angle CBP\\ &又\because\angle P=\angle P\\ &\therefore\triangle ADP\backsim\triangle CBP\\ &\therefore\frac{AP}{CP}=\frac{DP}{BP}\\ &即PA\cdot PB=PC\cdot PD \end{align}连接AD,BC在⊙O中，∠ADC=∠ABC即∠ADP=∠CBP又∵∠P=∠P∴△ADP∽△CBP∴CPAP=BPDP即PA⋅PB=PC⋅PD

与前两类相同，通过平方差公式，再结合图形的特殊情况，即 P1B1P_1B_1P1B1 为过点 O1O_1O1 的割线，则有

Pow(P)=PA⋅PB=PC⋅PD\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=PA\cdot PB=PC\cdot PD}}Pow(P)=PA⋅PB=PC⋅PD

总结#

通过以上的讲解，大家应该都理解了这三大定理和圆幂定理的内容了。圆幂定理的应用常见于一些有关圆中线段转化或最值问题的几何题中，这些题目中运用圆幂定理有时可以迅速抓住解题关键，事半功倍！cdn

几何之利刃——反演变换（1）

Sat, 12 Jul 2025 06:46:40 GMT

现在中考数学越来越爱考反演变换的题目了，于是……就有了这篇文章。

提示

本篇章阅读需要前置知识：圆幂定理，建议先阅读此篇章再回来，如已掌握请忽略。

定义#

反演变换与平移、旋转、对称变换等类似，也属于一种几何变换，但它更像是作一个图形关于圆的镜像。简单来讲，其定义如下：在同一平面内，有共线的三点 A,O,A′A,O,A'A,O,A′，其中 OOO 为定点，且 OA⋅OA′=kOA\cdot OA'=kOA⋅OA′=k，其中 kkk 为常数，则从点 AAA 到点 A′A'A′ 的变换称为**“反演变换”，记作 I(O,k)I(O,k)I(O,k)，那么定点 OOO 即反演中心**，常数 kkk 为反演幂，点 A′A'A′ 被称为 AAA 的反点。对于反演变换 I(O,k)I(O,k)I(O,k)，令 r=kr=\sqrt{k}r=k，则以反演中心 OOO 为圆心，rrr 为半径的圆称为反演变换 I(O,k)I(O,k)I(O,k) 的反演圆或基圆，常数 rrr 为反演半径。如下图所示。

性质#

反演变换的性质有很多条，由于篇幅有限，而且出于入门目的，这里仅简单列举两条易懂且常用的性质。

性质 1：反演变换可逆#

由反演变换的定义可知，当 A′A'A′ 时 AAA 的反点时，AAA 也是 A′A'A′ 的反点，所以点 AAA 与 A′A'A′ 互为反点。

性质 2：（每个点经过反演变换前后的位置关系）#

位于反演圆上的点，其反点保持在原处。
位于反演圆内的点，其反点位于反演圆外。
位于反演圆外的点，其反点位于反演圆内。

应用#

了解完反演变换的两条基本性质，那么就进入正题：反演变换在初中数学中的应用。

初中数学的反演变换通常会出现在求解动点轨迹的一类问题中，尤其是双动点问题（含一主动点和一从动点），当然部分求最值问题的本质也是求出动点轨迹。

根据反演变换的定义，主动点与从动点的关系必须要满足**“定积定角”**，需要区分瓜豆原理的“定比定角”。以下会举一个简单的例子进行说明。

平面内有一定点 OOO 和两个动点 P,QP,QP,Q，其中点 QQQ 随点 PPP 的运动而运动，现已知点 PPP 的运动轨迹，且 OP⋅OQ=kOP\cdot OQ=kOP⋅OQ=k，∠POQ=θ\angle POQ=\theta∠POQ=θ，其中 kkk 为常数，θ\thetaθ 为定值，请求出点 QQQ 的运动轨迹。

第Ⅰ类#

点 PPP 在过点 OOO 的直线上运动（线生线）

显然，由于此时 ∠POQ\angle POQ∠POQ 的一边 OPOPOP 所在直线固定，则另一边 OQOQOQ 所在直线也固定，故点 QQQ 在如图所示蓝色直线（过点 OOO 的直线）上运动。动图如下。

这一类即所谓线生线。

第Ⅱ类#

点 PPP 在不经过点 OOO 的直线上运动（线生圆）

肉眼可见地，这一类与上一类有了天差地别，点 QQQ 地运动轨迹竟然是个圆！证明如下。

过点O作OH⊥HP于点H，在平面内取一点G，使得∠HOG=∠POQ，且∠OQG=90°，连接OG，QG，取OG中点M.∵∠HOG=∠POQ∴∠HOG+∠POG=∠POQ+∠POG即∠POH=∠GOQ∵OH⊥HP∴∠PHO=90°=∠GQO∴△POH∽△GOQ∴OPOG=OHOQ即OH⋅OG=OP⋅OQ=k∵OH为定值，k为常数∴OG为定值又∵∠HOG=∠POQ为定值，OH固定∴OG固定∵∠OQG=90°为定角∴点Q在以OG为直径的圆上运动即点Q在以M为圆心，OM为半径的圆上运动（过点O的圆）\begin{align} &过点O作OH\perp HP于点H，在平面内取一点G，使得\angle HOG=\angle POQ，且\angle OQG=90\degree，连接OG，QG，取OG中点M.\\ &\because \angle HOG=\angle POQ\\ &\therefore \angle HOG+\angle POG=\angle POQ+\angle POG\\ &即\angle POH=\angle GOQ\\ &\because OH\perp HP\\ &\therefore \angle PHO=90\degree=\angle GQO\\ &\therefore \triangle POH\backsim \triangle GOQ\\ &\therefore \frac{OP}{OG}=\frac{OH}{OQ}\\ &即OH\cdot OG=OP\cdot OQ=k\\ &\because OH为定值，k为常数\\ &\therefore OG为定值\\ &又\because \angle HOG=\angle POQ为定值，OH固定\\ &\therefore OG固定\\ &\because \angle OQG=90\degree 为定角\\ &\therefore 点Q在以OG为直径的圆上运动\\ &\color{red}{\boldsymbol{即点Q在以M为圆心，OM为半径的圆上运动（过点O的圆）}}\\ \end{align}过点O作OH⊥HP于点H，在平面内取一点G，使得∠HOG=∠POQ，且∠OQG=90°，连接OG，QG，取OG中点M.∵∠HOG=∠POQ∴∠HOG+∠POG=∠POQ+∠POG即∠POH=∠GOQ∵OH⊥HP∴∠PHO=90°=∠GQO∴△POH∽△GOQ∴OGOP=OQOH即OH⋅OG=OP⋅OQ=k∵OH为定值，k为常数∴OG为定值又∵∠HOG=∠POQ为定值，OH固定∴OG固定∵∠OQG=90°为定角∴点Q在以OG为直径的圆上运动即点Q在以M为圆心，OM为半径的圆上运动（过点O的圆）

动图如下。

这一类即所谓线生圆。

第Ⅲ类#

点 PPP 在过点 OOO 的圆 MMM 上运动（圆生线）

这一类与第Ⅱ类十分类似，只是调换了以下顺序，所以其实时可以直接利用反演变换的性质1（可逆性）来解释。完整证明如下。

连接OM并延长交⊙M于点H，连接PH，在平面内取一点G，使得∠HOG=∠POQ，且∠OGQ=90°，连接OG，QG.由题，知OH为直径∴∠OPH=90°=∠OGQ∵∠HOG=∠POQ∴HOG−∠HOQ=∠POQ−∠HOQ即∠GOQ=∠POH又∵∠OPH=∠OGQ∴△POH∽△GOQ∴OPOG=OHOQ即OH⋅OG=OP⋅OQ=k∵OH为定值，k为常数∴OG为定值又∵∠HOG=∠POQ为定值，OH固定∴OG固定∵∠OGQ=90°为定角∴点Q在过点G且垂直于OG的直线上运动即点Q在如图所示的蓝色直线上运动（不经过点O的直线）\begin{align} &连接OM并延长交\odot M于点H，连接PH，在平面内取一点G，使得\angle HOG=\angle POQ，且\angle OGQ=90\degree，连接OG，QG.\\ &由题，知OH为直径\\ &\therefore\angle OPH=90\degree=\angle OGQ\\ &\because\angle HOG=\angle POQ\\ &\therefore HOG-\angle HOQ=\angle POQ-\angle HOQ\\ &即\angle GOQ=\angle POH\\ &又\because\angle OPH=\angle OGQ\\ &\therefore\triangle POH\backsim\triangle GOQ\\ &\therefore\frac{OP}{OG}=\frac{OH}{OQ}\\ &即OH\cdot OG=OP\cdot OQ=k\\ &\because OH为定值，k为常数\\ &\therefore OG为定值\\ &又\because\angle HOG=\angle POQ为定值，OH固定\\ &\therefore OG固定\\ &\because \angle OGQ=90\degree 为定角\\ &\therefore 点Q在过点G且垂直于OG的直线上运动\\ &\color{red}{\boldsymbol{即点Q在如图所示的蓝色直线上运动（不经过点O的直线）}}\\ \end{align}连接OM并延长交⊙M于点H，连接PH，在平面内取一点G，使得∠HOG=∠POQ，且∠OGQ=90°，连接OG，QG.由题，知OH为直径∴∠OPH=90°=∠OGQ∵∠HOG=∠POQ∴HOG−∠HOQ=∠POQ−∠HOQ即∠GOQ=∠POH又∵∠OPH=∠OGQ∴△POH∽△GOQ∴OGOP=OQOH即OH⋅OG=OP⋅OQ=k∵OH为定值，k为常数∴OG为定值又∵∠HOG=∠POQ为定值，OH固定∴OG固定∵∠OGQ=90°为定角∴点Q在过点G且垂直于OG的直线上运动即点Q在如图所示的蓝色直线上运动（不经过点O的直线）

动图如下。

这一类即所谓圆生线。

第Ⅳ类#

点 PPP 在不经过点 OOO 的圆 MMM 上运动（圆生圆）

由图可知这一类的做法与前三组更是又显著差异。其实这里用到了“转化”的主要思想，通过将反演问题由圆幂定理进行转化，把题目变为简单的“瓜豆”题。其大致证明如下。

阅读此证明需要知识【圆幂定理】，点我跳转，如已掌握请忽略。

连接OM，连接OP并延长交⊙M与点P′，连接MP′，在平面内取一点N，使得∠MON=∠POQ，∠OQN=∠OP′M，连接ON，QN.∵∠MON=∠POQ∴∠MON−∠P′ON=∠POQ−∠P′ON即∠MOP′=∠NOQ又∵∠OQN=∠OP′M∴△MOP′∽△NOQ∴OMON=MP′NQ=OP′OQ在⊙M中，记其半径为r，则根据圆幂定理得OP⋅OP′=OM2−r2，记为a又OP⋅OQ=k，记为b∴ab，得OP′OQ=OM2−r2k∵OM,r,k都为定值∴OP′OQ为定值∵OMON=MP′NQ=OP′OQ又∵OM,MP′为定值∴ON,NQ为定值又∵OM固定，∠MON=∠POQ为定值∴ON固定∴点Q在以N为圆心，NQ为半径的圆上运动（不经过点O的圆）\begin{align} &连接OM，连接OP并延长交\odot M与点P'，连接MP'，在平面内取一点N，使得\angle MON=\angle POQ，\angle OQN=\angle OP'M，连接ON，QN.\\ &\because\angle MON=\angle POQ\\ &\therefore\angle MON-\angle P'ON=\angle POQ-\angle P'ON\\ &即\angle MOP'=\angle NOQ\\ &又\because\angle OQN=\angle OP'M\\ &\therefore\triangle MOP'\backsim\triangle NOQ\\ &\therefore\frac{OM}{ON}=\frac{MP'}{NQ}=\frac{OP'}{OQ}\\ &在\odot M中，记其半径为r，则根据圆幂定理\\ &得OP\cdot OP'=OM^2-r^2，记为a\\ &又OP\cdot OQ=k，记为b\\ &\therefore\frac{a}{b}，得\frac{OP'}{OQ}=\frac{OM^2-r^2}{k}\\ &\because OM,r,k都为定值\\ &\therefore \frac{OP'}{OQ}为定值\\ &\because\frac{OM}{ON}=\frac{MP'}{NQ}=\frac{OP'}{OQ}\\ &又\because OM,MP'为定值\\ &\therefore ON,NQ为定值\\ &又\because OM固定，\angle MON=\angle POQ为定值\\ &\therefore ON固定\\ &\color{red}{\boldsymbol{\therefore 点Q在以N为圆心，NQ为半径的圆上运动（不经过点O的圆）}}\\ \end{align}连接OM，连接OP并延长交⊙M与点P′，连接MP′，在平面内取一点N，使得∠MON=∠POQ，∠OQN=∠OP′M，连接ON，QN.∵∠MON=∠POQ∴∠MON−∠P′ON=∠POQ−∠P′ON即∠MOP′=∠NOQ又∵∠OQN=∠OP′M∴△MOP′∽△NOQ∴ONOM=NQMP′=OQOP′在⊙M中，记其半径为r，则根据圆幂定理得OP⋅OP′=OM2−r2，记为a又OP⋅OQ=k，记为b∴ba，得OQOP′=kOM2−r2∵OM,r,k都为定值∴OQOP′为定值∵ONOM=NQMP′=OQOP′又∵OM,MP′为定值∴ON,NQ为定值又∵OM固定，∠MON=∠POQ为定值∴ON固定∴点Q在以N为圆心，NQ为半径的圆上运动（不经过点O的圆）

动图如下。

总结#

综上所述，反演变换的大多数题目都是由相似解决的，有些甚至还用到了圆幂定理，可见反演变换套路之复杂。当然，以上列举的还仅仅时反演变换最基础的内容，不过即便这样也足以解决 90% 的初中反演类型的题目了，就如2025年广东省广州市越秀区一模卷的第25题第(3)小问，恰好就是反演变换中线生圆的模型题。所以这么重要的知识，还是得好好掌握啊。

读完这篇文章，你也应该差不多已经入门反演变换了，后续我还会出更多相关的内容，希望各位可以动动手指主动分享一下，扩大知识的传播面，让身边更多的人能够了解这些技巧。

【习题解析】如何解决双重根式化简

Sat, 05 Jul 2025 06:05:49 GMT

习题完整解析#

判断 5+25\sqrt{5+2\sqrt{5}}5+25 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.

解：由题，知Δ=52−22×5=5解：由题，知\Delta=5^2-2^2\times5=5解：由题，知Δ=52−22×5=5

∵5不是可开尽方的有理数\because5不是可开尽方的有理数∵5不是可开尽方的有理数

∴原式不能被化简\therefore原式不能被化简∴原式不能被化简
判断 37−127\sqrt{37-12\sqrt{7}}37−127 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.

解：由题，知Δ=372−122×7=361=192解：由题，知\Delta=37^2-12^2\times7=361=19^2解：由题，知Δ=372−122×7=361=192

∴原式=37+192−37−192=562−182=27−3\begin{aligned}\therefore 原式&=\sqrt{\frac{37+19}{2}}-\sqrt{\frac{37-19}{2}}\\&=\sqrt{\frac{56}{2}}-\sqrt{\frac{18}{2}}\\&=2\sqrt{7}-3\end{aligned}∴原式=237+19−237−19=256−218=27−3
已知 cos⁡θ=325\cos\theta=\frac{3\sqrt{2}}{5}cosθ=532，运用公式 tan⁡θ2=1−cos⁡θ1+cos⁡θ\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}tan2θ=1+cosθ1−cosθ，计算 tan⁡(90°−θ2)\tan(90\degree -\frac{\theta}{2})tan(90°−2θ) 的值.

解：由题，得tan⁡θ2=1−3251+325=5−325+32=43−3027=17×43−302\begin{aligned}解：由题，得\tan{\frac{\theta}{2}}&=\sqrt{\frac{1-\frac{3\sqrt{2}}{5}}{1+\frac{3\sqrt{2}}{5}}}\\&=\sqrt{\frac{5-3\sqrt{2}}{5+3\sqrt{2}}}\\&=\sqrt{\frac{43-30\sqrt{2}}{7}}\\&=\sqrt{\frac{1}{7}}\times\sqrt{43-30\sqrt{2}}\end{aligned}解：由题，得tan2θ=1+5321−532=5+325−32=743−302=71×43−302

∴Δ=432−900×2=49=72\therefore \Delta=43^2-900\times2=49=7^2∴Δ=432−900×2=49=72

∴tan⁡θ2=17×(43+72−43−72)=17(5−32)=5−327\begin{aligned}\therefore \tan{\frac{\theta}{2}}&=\sqrt{\frac{1}{7}}\times(\sqrt{\frac{43+7}{2}}-\sqrt{\frac{43-7}{2}})\\&=\sqrt{\frac{1}{7}}(5-3\sqrt{2})\\&=\frac{5-3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\end{aligned}∴tan2θ=71×(243+7−243−7)=71(5−32)=75−32

∴tan⁡(90°−θ2)=1tan⁡θ2=75−32=57+3147\begin{aligned}\therefore \tan{(90\degree-\frac{\theta}{2})}&=\frac{1}{\tan{\frac{\theta}{2}}}\\&=\frac{\sqrt{7}}{5-3\sqrt{2}}\\&=\frac{5\sqrt{7}+3\sqrt{14}}{7}\end{aligned}∴tan(90°−2θ)=tan2θ1=5−327=757+314

看透多动点的本质——旋心

Sun, 11 May 2025 07:00:00 GMT

构造旋心是部分中考几何题的通用方法，学习后将有助于提升中考压轴题的做题效率。

旋心又称“相似不动点”，构造旋心解题的这类方法又被称作“逆瓜豆原理”。

引入#

毕竟旋心也被叫做相似不动点，那么我们来看一下是如何构造相似的：

如图是两条线段 ABABAB、CDCDCD，要求在平面内作一点 SSS，使得 △ABS∽△CDS\triangle ABS\backsim\triangle CDS△ABS∽△CDS. （可以尝试在图上画一画）

引入-1

聪明的你肯定发现，直接找一点 SSS 不那么容易，所以你选择了从已知事物出发，开始研究起了旋转相似。

引入-2

由旋转相似，不难发现 ∠AC′B′=∠ACB\angle AC'B'=\angle ACB∠AC′B′=∠ACB，于是你延长了 C′B′C'B'C′B′ 和 CBCBCB 交于一点 DDD，然后得出 A,C′,C,DA,C',C,DA,C′,C,D 四点共圆，并且进一步推出 A,B′,B,DA,B',B,DA,B′,B,D 四点也共圆。所以你选择在原来的题目上做出如下操作：延长 BA,DCBA,DCBA,DC 交于点 EEE，并分别做出 △ACE\triangle ACE△ACE 和 △BDE\triangle BDE△BDE 的外接圆相交于另一点 SSS。

引入-3

对，你就是发现了其中的规律，点 SSS 就是旋转中心！连接剩余的4条边，便得到两个相似三角形。

引入-4

完美，接下来还有一道类似的题：在如下平面上作出一点 SSS，使得 △ABS∽△DCS\triangle ABS\backsim\triangle DCS△ABS∽△DCS.（再尝试画一画）

引入-5

你也肯定发现了，做法与上一道题十分相似，还是首先找到两条线段所在直线交点，记为 EEE。

引入-6

需要注意的是，这次相似中的第二个三角形对应点调换了一下，那么思路也变换一下，分别作 △ADE\triangle ADE△ADE 和 △BCE\triangle BCE△BCE 的外接圆，其交点就是我们要的点 SSS ！

引入-7

那——如何证明呢？

虽然图的样子变了，但是仔细观察，还是可以发现图中有两个圆内接四边形 ASDEASDEASDE 和 BSCEBSCEBSCE，只不过不在同一个圆中，那么事情就好办了，它们有公共角 ∠BED\angle BED∠BED，所以它的对角都相等，即 ∠ASD=∠BSC\angle ASD=\angle BSC∠ASD=∠BSC，减去公共角 ∠ASC\angle ASC∠ASC，可得 ∠ASB=∠DSC\angle ASB=\angle DSC∠ASB=∠DSC。第一组角相等有了，第二组也显而易见：在圆内接四边形 ASDEASDEASDE 中，有 ∠BAS=∠D\angle BAS=\angle D∠BAS=∠D，证毕！

其实按照这个方法，在另一个圆内接四边形中还有第三组角相等，只是我们不需要罢了。

为了使这样构造相似的方法更加通用，我们给予如下形式的定义：对于平面内任意两条有向线段 AB\boldsymbol{AB}AB 和 CD\boldsymbol{CD}CD，两始点与平面内另一点 SSS 构成的夹角 ∠ASC\angle ASC∠ASC 等于两条有向线段的夹角 θ\thetaθ，两终点与该点 SSS 构成的夹角 ∠BSD\angle BSD∠BSD 也等于 θ\thetaθ ，则该点 SSS 即为有向线段 AB\boldsymbol{AB}AB 和 CD\boldsymbol{CD}CD 的旋心（相似不动点）。

有向线段的夹角即引入题 1 中的 ∠AEC\angle AEC∠AEC 和引入题 2 中的 ∠AED\angle AED∠AED 的补角，由两条有向线段的方向确定。

精讲#

了解完旋心的定义，可以尝试思考一下：构造旋心这一手段在题目中有什么用呢？

欸，很对同学的第一反应应该是逆等线的题目吧，那么刚好，我们来看一道逆等线最值的经典题目。

【例题 1】 如下图，已知 AB=4AB=4AB=4，∠ACB=90°\angle ACB=90\degree∠ACB=90°，点 DDD 在线段 BCBCBC 上，且 AC=BDAC=BDAC=BD，求线段 ADADAD 的最小值。

精讲-1

这道题就是逆等线标准的模型题，如果说利用逆等线模型来解，大概是这样：

精讲-2

即构造三角形全等，△ACB\unicodex224c△BDE\triangle ACB\unicode{x224c}\triangle BDE△ACB\unicodex224c△BDE，得到定边 BEBEBE 和定角 ∠BDE\angle BDE∠BDE，定弦定角出定圆，最后一箭穿心即可。

当然了，这种题对于用旋心解法也是小菜一碟，为了找到旋心 SSS，需要先找到两个有向线段 AC\boldsymbol{AC}AC 和 BD\boldsymbol{BD}BD，它们的夹角 θ=90°\theta =90\degreeθ=90°，所以先作出 △ACB\triangle ACB△ACB 的外接圆 ⊙M\odot M⊙M，并在 ⊙M\odot M⊙M 上找一点，使得该点到 AAA 和 BBB 的距离相等。这时候我们就会发现该前提下有两个符合条件的点，那我们取哪一个呢？其实这里我们直观感受一下即可，当该点在 ABABAB 下方时会发现无法构造出旋转相似，所以 ABABAB 上方的点就是我们所需要的旋心 SSS。

在你找到了旋心之后，整道题就已经完成一半了。不难发现我们所构造的旋心 SSS 是一个定点，又由旋转全等，就可以利用瓜豆原理来求出点 DDD 的运动轨迹了，怎么样？是不是很直接，自然而然地答案就摆在了眼前，图解如下。

精讲-3

所以这道题的最终答案为：当 A,D,FA,D,FA,D,F 三点共线时，ADmin=AF−DF=25−2AD_{min}=AF-DF=2\sqrt{5}-2ADmin=AF−DF=25−2。

那么我们这里就可以总结一下利用旋心解题的两大步骤：

构造定角（例题 1 中的 ∠ASB=θ\angle ASB=\theta∠ASB=θ）
构造边成定比（例题 1 中的 ASBS=ACBD=1\frac{AS}{BS}=\frac{AC}{BD}=1BSAS=BDAC=1）

需要注意的点是：这样的构造方式通常会有两个符合条件的点，需根据题意排除其中一个。

练习#

作为旋心篇章的末尾，这里整理了3道有意义的几何题，并且都可以利用旋心来解决，期待你精彩的解法！

【习题 1】 如图，在 △ABC\triangle ABC△ABC 中，∠ACB=45°\angle ACB=45\degree∠ACB=45°，AB=4AB=4AB=4，DDD 在线段 BCBCBC 上且 BD=ACBD=ACBD=AC，DE⊥ACDE\perp ACDE⊥AC，若 AC<BCAC<BCAC<BC 且点 EEE 在线段 ACACAC 上，求 DEDEDE 扫过的面积。

练习-1

【习题 2】 如图，在等边 △ABC\triangle ABC△ABC 中，D,ED,ED,E 分别是边 AC,BCAC,BCAC,BC 上的动点，且 BE=2ADBE=2ADBE=2AD，若 AB=4AB=4AB=4，求 AD+DEAD+DEAD+DE 的最小值。

练习-2

【习题 3】 如图，平面内有四个点 A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D，AB=6AB=6AB=6，∠CAB=∠DBA=60°\angle CAB=\angle DBA=60\degree∠CAB=∠DBA=60°，EEE 是线段 ABABAB 上一动点，且满足 ∠CED=90°\angle CED=90\degree∠CED=90°，AE+BD=BEAE+BD=BEAE+BD=BE，求 CE+3DECE+\sqrt{3}DECE+3DE 的最小值。

练习-3

小结#

总而言之，构造旋心是一类几何题的通用解法，但切记不要滥用，毕竟任何事物都是有双面性的，在思路简单无脑的同时换来的是大于其他几何做法的计算量和更加复杂的图示和解题步骤，所以博主这里建议如果一道题能够用其他更清晰明了的几何方法解决就不要用旋心来解决，不过平时做题用旋心来唤醒一下沉睡的几何思维也是可以的。

关于旋心的篇章就先到这里了，这可是花费了博主不少心血才做出来的成品啊。

上面留了3道习题，大家可以尝试着做一做，答案会在后期另篇发布。当然，也许你会发现难度与例题相差甚远，但这正是锻炼我们大脑的好机会呀，期待各位的精彩解答！

【实用技巧】如何解决双重根式化简

Sat, 03 May 2025 00:00:00 GMT

这篇文章我会详细介绍初高中常见的双重根式化简问题，这尤其常见于三角函数计算中。

先来看可化简双重根式的一般形式：S=a±bS=\sqrt{a\pm\sqrt{b}}S=a±b

那么该式中如何去掉最外层的根号呢，或者说检验它可否被化简，以下我将运用待定系数法来讲解。

模型分析及证明#

首先观察原式，有 a,ba,ba,b 为正有理数，亦可知 SSS 化简后应为 m±n\sqrt{m}\pm\sqrt{n}m±n 的形式，且 m,nm,nm,n 为正有理数，那么我们可以令 m±n=a±b\sqrt{m}\pm\sqrt{n}=\sqrt{a\pm\sqrt{b}}m±n=a±b

等式两边同时平方即得 m+n±2mn=a±bm+n\pm2\sqrt{mn}=a\pm\sqrt{b}m+n±2mn=a±b

因为 m,n,a,bm,n,a,bm,n,a,b 都为正有理数，所以不妨令 {m+n=a,±2mn=±b\begin{cases}m+n=a,\\\pm2\sqrt{mn}=\pm\sqrt{b}\end{cases}{m+n=a,±2mn=±b （待定系数法）

化简即 {m+n=a,mn=b4\begin{cases}m+n=a,\\mn=\frac{b}{4}\end{cases}{m+n=a,mn=4b

看到这样一个方程组，想必大家都很熟悉，这不就是韦达定理么。

所以下一步是构造一个关于 xxx 的一元二次方程，使 m,nm,nm,n 为其两根，则有 x2−ax+b4=0\begin{aligned}x^2-ax+\frac{b}{4}=0\end{aligned}x2−ax+4b=0

其判别式为 Δ=(−a)2−4×1⋅b4=a2−b\begin{aligned}\Delta =(-a)^2-4\times 1\cdot \frac{b}{4}=a^2-b\end{aligned}Δ=(−a)2−4×1⋅4b=a2−b

则 x=a±a2−b2×1\begin{aligned}x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2\times 1}\end{aligned}x=2×1a±a2−b，得 m=a+a2−b2,n=a−a2−b2\begin{aligned}m=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2},n=\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\end{aligned}m=2a+a2−b,n=2a−a2−b

因为 m,nm,nm,n 为正有理数，所以条件为判别式 Δ=a2−b\Delta=a^2-bΔ=a2−b 为一个有理数的平方

最后即可得 a±b=a+a2−b2±a−a2−b2\begin{aligned}\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\end{aligned}a±b=2a+a2−b±2a−a2−b

例题精讲#

接下来我们看几道例题。

化简 8+43\sqrt{8+4\sqrt{3}}8+43 .

解：由题，知Δ=82−42×3=16解：由题，知\Delta=8^2-4^2\times3=16解：由题，知Δ=82−42×3=16

∴原式=8+162+8−162=6+2\begin{aligned}\therefore 原式&=\sqrt{\frac{8+\sqrt{16}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{16}}{2}}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{aligned}∴原式=28+16+28−16=6+2
化简 7−35\sqrt{7-3\sqrt{5}}7−35 .

解：由题，知Δ=72−32×5=4解：由题，知\Delta=7^2-3^2\times 5=4解：由题，知Δ=72−32×5=4

∴原式=7+42−7−42=92−52=32−102\begin{aligned}\therefore 原式&=\sqrt{\frac{7+\sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{4}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\\&=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}\end{aligned}∴原式=27+4−27−4=29−25=232−10

习题检验#

最后，给大家留几道习题。

判断 5+25\sqrt{5+2\sqrt{5}}5+25 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.
判断 37−127\sqrt{37-12\sqrt{7}}37−127 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.
已知 cos⁡θ=325\cos\theta=\frac{3\sqrt{2}}{5}cosθ=532，运用公式 tan⁡θ2=1−cos⁡θ1+cos⁡θ\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}tan2θ=1+cosθ1−cosθ，计算 tan⁡(90°−θ2)\tan(90\degree -\frac{\theta}{2})tan(90°−2θ) 的值.

习题的过程及答案将会另篇揭晓，留心关注哦~

【探究】含60°角的三角形

Mon, 29 Jul 2024 07:19:19 GMT

这边也是很久没有更新博客了，今天水一个博客顶一顶

前言#

就在不久前的一次数学测试中：我发现了一道稍有难度而又不失乐趣的题目，我把其中的一个步骤抽象成了这样一道几何题：

在△ABC中，∠A=60°，求证：仅当△ABC为等边三角形时，满足AB+AC=2BC.在\triangle ABC中，\angle A=60\degree，求证：仅当\triangle ABC为等边三角形时，满足AB+AC=2BC.在△ABC中，∠A=60°，求证：仅当△ABC为等边三角形时，满足AB+AC=2BC.

经过#

然而，在经过我一夜未寝的奋斗后，我给出了两种证明方法。见下。

证明方法1 - 从特殊三角形出发#

构造等边三角形，再比较 (AB+AC) 与 2BC 的平方间的关系.

辅助线#

在△ABC内构造等边三角形ABD，点D在线段AC上，过点B作BH⊥AC于点H.在\triangle ABC内构造等边三角形ABD，点D在线段AC上，过点B作BH\perp AC于点H.在△ABC内构造等边三角形ABD，点D在线段AC上，过点B作BH⊥AC于点H.

证明过程#

设AB=a,CD=b设AB=a, CD=b设AB=a,CD=b

在等边△ABC中,AB=BD在等边\triangle ABC中, AB=BD在等边△ABC中,AB=BD

∵BH⊥AD\because BH \perp AD∵BH⊥AD

∴AH=DH=12AD=12a\therefore AH=DH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}a∴AH=DH=21AD=21a

∴CH=DH+CD=12a+b\therefore CH=DH+CD=\frac{1}{2}a+b∴CH=DH+CD=21a+b

在Rt△ABH中,∠BAH=60°在Rt\triangle ABH中, \angle BAH=60\degree在Rt△ABH中,∠BAH=60°

∴BH=AH⋅tan⁡60°=12a⋅3=32a\therefore BH=AH\cdot \tan{60\degree}=\frac{1}{2}a\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a∴BH=AH⋅tan60°=21a⋅3=23a

在Rt△BCH中,根据勾股定理,在Rt\triangle BCH中,根据勾股定理,在Rt△BCH中,根据勾股定理,

BC2=BH2+CH2=(32a)2+(12a+b)2=a2+b2+abBC^2=BH^2+CH^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2+(\frac{1}{2}a+b)^2=a^2+b^2+abBC2=BH2+CH2=(23a)2+(21a+b)2=a2+b2+ab

∴(2BC)2=4BC2=4(a2+b2+ab)=4a2+4b2+4ab\therefore (2BC)^2=4BC^2=4(a^2+b^2+ab)=4a^2+4b^2+4ab∴(2BC)2=4BC2=4(a2+b2+ab)=4a2+4b2+4ab

∵(AB+AC)2=(a+a+b)2=4a2+b2+4ab\because (AB+AC)^2=(a+a+b)^2=4a^2+b^2+4ab∵(AB+AC)2=(a+a+b)2=4a2+b2+4ab

∴(2BC)2−(AB+AC)2=3b2≠0\therefore (2BC)^2-(AB+AC)^2=3b^2\neq 0∴(2BC)2−(AB+AC)2=3b2=0

∴原命题得证.\therefore 原命题得证.∴原命题得证.

小结#

利用特殊三角形的特殊角度证明普通三角形的边角关系，从已知到未知，是一种很值得锻炼的数学思维。

证明方法2 - 遇事不决，圆来解决！#

作这个含60°角的三角形的外接圆，利用三角函数表示三个弦长之间的关系

辅助线#

作△ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，作\triangle ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，作△ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，

过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥BC于点Q，OR⊥AC于点R.过点O作OP\perp AB于点P，OQ\perp BC于点Q，OR\perp AC于点R.过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥BC于点Q，OR⊥AC于点R.

证明过程#

设⊙O的半径长为r，∠AOB=2α，∠AOC=2β设\odot O的半径长为r，\angle AOB=2\alpha ，\angle AOC=2\beta设⊙O的半径长为r，∠AOB=2α，∠AOC=2β

在⊙O中，∵∠A=60°在\odot O中，\because \angle A=60\degree在⊙O中，∵∠A=60°

∴∠BOC=2∠A=120°\therefore \angle BOC=2\angle A=120\degree∴∠BOC=2∠A=120°

∵OB=OC,OQ⊥BC\because OB=OC,OQ\perp BC∵OB=OC,OQ⊥BC

∴∠BOQ=12∠BOC=60°,BC=2BQ\therefore \angle BOQ=\frac{1}{2}\angle BOC=60\degree,BC=2BQ∴∠BOQ=21∠BOC=60°,BC=2BQ

∴BC=2BQ=2(OB⋅sin⁡60°)=2(r⋅32)=3r\therefore BC=2BQ=2(OB\cdot \sin{60\degree})=2(r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}r∴BC=2BQ=2(OB⋅sin60°)=2(r⋅23)=3r

同理AB=2r⋅sin⁡α,AC=2r⋅sin⁡β同理AB=2r\cdot \sin{\alpha},AC=2r\cdot \sin{\beta}同理AB=2r⋅sinα,AC=2r⋅sinβ

∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°\because \angle AOB+\angle AOC+\angle BOC=360\degree∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°

即2α+2β+120°=360°即2\alpha +2\beta +120\degree=360\degree即2α+2β+120°=360°

∴α+β=120°\therefore \alpha + \beta = 120\degree∴α+β=120°

则AB+AC=2r⋅(sin⁡α+sin⁡(120°−α))=23r⋅sin⁡(α+30°)则AB+AC=2r\cdot (\sin{\alpha}+\sin(120\degree -\alpha))=2\sqrt{3}r\cdot \sin(\alpha +30\degree)则AB+AC=2r⋅(sinα+sin(120°−α))=23r⋅sin(α+30°)

令AB+AC=2BC,即23r⋅sin⁡(α+30°)=23r令AB+AC=2BC,即2\sqrt{3}r\cdot \sin(\alpha +30\degree)=2\sqrt{3}r令AB+AC=2BC,即23r⋅sin(α+30°)=23r

又∵α>0°,∴解得α=60°又\because \alpha >0\degree,\therefore 解得\alpha =60\degree又∵α>0°,∴解得α=60°

此时∠AOB=∠AOC=120°即△ABC为等边三角形此时\angle AOB=\angle AOC=120\degree 即\triangle ABC为等边三角形此时∠AOB=∠AOC=120°即△ABC为等边三角形

∴仅当△为等边三角形时，才满足AB+AC=2BC\therefore 仅当\triangle 为等边三角形时，才满足AB+AC=2BC∴仅当△为等边三角形时，才满足AB+AC=2BC

∴原命题得证\therefore 原命题得证∴原命题得证

小结#

只要有一定的知识储备量，没有什么事情是圆和三角函数解决不了的！

总结#

这道命题需要大家发散思维，努力回顾初高中所学，不断打磨自己…

Horean 的持续创作 & 爱发电的注册~

Sat, 04 May 2024 12:45:56 GMT

Horean 越来越享受创作的乐趣了，正在努力创作HHH世界的各种产物，感谢大家的支持！

正在开发的项目：

另外，Horean 的 AFD 也已经准备就绪啦，希望大家多多支持，您的支持将会转化为我们前进的动力！

谢谢w~#

2023年CSP比赛游记

Sat, 16 Sep 2023 14:43:49 GMT

考前一天晚上，我本来用心地复习过了 CSP 的主要考点啊，但是……

也许是我的能力有待提高，奥信队的老师们给我推荐报名的只有CSP的Junior组别，也就是我们常说的普及组。而我也傻乎乎地只报名了 CSP-J ，失去了一次原本报名 CSP-S 可能通过的机会，但过去终究是过去了，当时只能做的是眼前的未来。

考试当天，坐在车上，我心里焦躁不安，看着车窗外走过的一棵有一棵的树，一直很担心这次 CSP-J 初赛不能通过，这样就更加不能指望有 CSP-J 一等奖了。

一开始我还找错了考场地点，本是“广州大学附属中学大学城校区”，我却来到了“广州大学”，这使得我更加焦虑了，不过好在时间还是充足的，我顺利地来到了考场。

考场门前人山人海，好不容易找到了我们学校的团队，但我越是离考场近，我就越担心我的成绩，直至工作人员检查准考证前一秒，心里都还念叨着这次考试一定不能出错。但当我踏进教室的瞬间，我发现我所在的考场竟然有 5位我们学校的同学，这次我总算是放心了一点，开始严肃面对这次考试。

今年的单项选择题与往年似乎有些差异，这次考题并没有涉及计算机的发明和由来等基础知识，而是主要考察了进制转换和类似栈、队、堆等数据类型以及图论的内容，这让我在考试时直冒冷汗，信心倍减。但这次最令我烦恼的是哈夫曼树以及树的前序、中序和后序遍历的转换，我终于意识到我最近的复习还不够深入，悔恨万分，但我也只能够面对接下来这残酷的考试。

到了阅读程序部分，总体上来说还好，并没有什么大问题；但是到了完善程序部分，我感受到了巨大的压力，尤其是第二篇的二分查找的完善代码，考察二分的细节，选项包含 left = mid + 1 及 left = mid 等等，确实很让人头疼。

总结一下，我认为今年的初赛试题要比去年的难度要高一些，对于这次 CSP-J 初赛能否通过，我并没有抱有太大的希望，现在能做的只有把这件事情置之脑后。

GitHub + PicGo 搭建一个属于自己的图床

Fri, 01 Sep 2023 05:40:21 GMT

想必大家肯定都很想拥有一个完全属于自己的图床吧

那么今天，为了帮助大家实现这个愿望，我花了亿点时间写了一篇博客教程，喜欢的话可以向其他人推荐一下哦。

那么，进入正题：

在我们搭建图床之前，我想应该很多同学们都有过这样的经历：

花了很长时间在网上找免费图床的网站，但是却发现空间根本不够用。
本已经信任了很久的图床网站，却突然有一天崩掉了，一夜之间全部链接都无法显示。

为了解决这些问题，我们自然而然的就想到了自己搭建一个稳定的图床，详细步骤见下。

新建 Git 仓库#

GitHub 账号应该就不用我多说了吧，如果还没有的请前往 GitHub 主页注册 GitHub 账号。

我们在 GitHub 控制面板找到右上角的小加号，再点击 New repository 新建一个仓库。

在新建仓库的页面，我们在 Repository name 那里填上 img-host （也可以换成其他你喜欢的仓库名称），Description 那里填写上你的仓库描述。

{% notel red fa-circle-exclamation 注意 %} 一定要选择 Public 公开仓库，否则可能无法访问你存储的图片。 {% endnotel %}

接着点击 Create Repository 创建仓库。

最后我们就可以手动把图片推送到仓库里面去啦，到时候访问仓库图片地址就可以了！

获取 GitHub Token#

在 GitHub 主页，点击右上角你的头像，在出现的菜单里选择 Settings 进入设置。

再在左侧菜单栏选择 Developer settings 进入开发者设置。

然后在左侧选择 Personal access tokens，再选择 Tokens (classic)，进入以后，点击右上角 Generate new token 选择 classic 版生成新的密钥。

接下来 GitHub 可能会让你输入密码以确定是本人操作，这里正常输入密码就行了。

然后 Token 名称自己能知道是什么就行，有效日期作者推荐无期限（No Expiration），不然每次到期还要再新建一个，还要更改配置，然后下面的 Token 权限选择只需要勾选 repo 就可以了，其他权限不需要用到。

点击 Generate token 生成密钥，然后一定要记得复制生成的密钥，它只会显示一次！

最后可以选择把复制的密钥存起来，而且不要被别人看到，以防丢失或泄露。

使用 PicGo 上传图片#

但是我们直接手动推送图片到仓库的话，可能会有一系列麻烦的过程，所以，有请我们今天的主角：PicGo！

PicGo 可以帮助我们更方便地上传图片，PicGo 下载链接。

下载安装好后，我们打开 PicGo，在左侧导航栏选择 图床设置，然后选择 GitHub。

接下来是 GitHub 仓库设置的填写：

设定仓库名：<GitHub 用户名>/<图床仓库名>。
设定分支名：默认 main 就可以了。
设定Token：上文提到的 GitHub Token，复制粘贴进去就行。
设定存储路径：如果没有留空就行。
设定自定义域名：此处我们选择用 jsdelivr 来加速访问，填写 https://cdn.jsdelivr.net/gh/<GitHub 用户名>/<图床仓库名>。

最后选择左侧导航栏 上传区，可以把图片拖进去，或者是点击浏览选择文件，皆可上传成功！

上传成功后就可以到你的 GitHub 仓库查看啦，如果你按照上文使用了 jsdelivr 加速，那么访问地址为：https://cdn.jsdelivr.net/gh/<GitHub 用户名>/<图床仓库名>/<存储路径>/<图片文件名>，或者在左侧导航栏 相册 处找到图片复制链接，这样就不用担心你的博客没有一个可以依靠的图床啦！

可能会遇到的问题#

如果你没有上传成功图片，那么可能是以下原因造成的。

图床设置 > GitHub 没有调整好，可以仔细对照着你的 GitHub 仓库信息修改一下。
如果你正在使用 Watt Toolkit （原名 Steam++）加速的话，请尝试先暂停加速，再去上传试试，这次应该能够上传成功，如果嫌太麻烦的话，作者可以推荐另一个好用的加速器：Dev Sidecar，用 Dev Sidecar 加速时不会导致 PicGo 图片上传失败。
如果你的图片文件名与之前上传的有重复，那么建议更改文件名或找到 PicGo 左侧导航栏 PicGo设置 处把 时间戳重命名 开关打开，这样就不用担心文件重名了，PicGo 会自动把上传后的文件名更改为当前时间戳。

如果你的问题还没有解决，那么请尝试在网络上查找解决方案。

Hexo - Redefine Theme 踩过的坑

Wed, 30 Aug 2023 03:16:08 GMT

众所周知，在自建博客这一界有个很强的东西：Hexo
但这其中的坑，可谓是劝退了不少初学者……

所以，今天我就来帮大家避一下坑。

这篇文章的所有内容都是建立在 Hexo 的其中一个主题 Redefine 上的，且仅针对 Windows 系统，原因嘛……就是我现在在用这款主题。

PS: 这篇文章的内容对于其他主题和其他操作系统是否有效暂时未知，本文仅供参考。

新手教程#

Hexo#

安装#

友情链接：Hexo安装文档

其实一开始和官网的教程差不多，可以直接 npm 全局安装。

如果有不了解 Node.js 的同学，我以后会单独出一篇教程来详细解说……

Terminal window

1
npm install -g hexo-cli

此外，如果你对 npm 熟悉一点，那么你可以仅局部安装 Hexo。

Terminal window

1
npm install hexo

初始化#

hexo-cli 中初始化一个博客项目的命令为 hexo init <folder>，其中 <folder> 为目录名（亦为项目名）。

Terminal window

1
hexo init <folder>
2
cd <folder>
3
npm install

接下来更详细的初始化步骤见建站 | Hexo。

启动#

通过 hexo s 命令启动本地博客。

Terminal window

1
hexo s

主题：Redefine#

友情链接：Redefine官方文档

安装#

Terminal window

1
npm install hexo-theme-redefine@latest

启用#

在 Hexo 根目录下（也就是刚才所说的<folder>）的 _config.yml，把 theme 值修改为 redefine。

1
theme: redefine

配置#

在 Hexo 根目录下创建 _config.redefine.yml 文件，并将此处的所有内容复制进去。

本文件会自动覆盖主题的配置项，创建本文件的目的是为了方便你在升级主题时，不会丢失你的配置。

主题初始化完成#

接下来你可以启动 Hexo 看看效果。

踩过的坑#

接下来是咱们今天的重点……

Hexo 版本#

Hexo 的版本一定要不能升到最新版（@7.0.0），就目前作者试验，最高可以升到 @6.3.0 版本，否则 tags 可能会报错 site.tags.date is not iterable，可以通过 npm list 查看当前所有包的版本，如果需要升级的，可以执行以下指令。

Terminal window

1
npm install hexo@6.3.0

LaTeX 渲染#

如果想要完整显示所有 LaTeX 公式，首先需要安装插件 hexo-filter-mathjax。

Terminal window

1
npm install hexo-filter-mathjax

然后在 Hexo 配置文件 _config.yml 最底下增加如下配置。

1
mathjax:
2
  tags: none               # 或 'ams' 或 'all'
3
  single_dollars: true     # 启用单个美元符号作为内联（行内）数学公式定界符
4
  cjk_width: 0.9           # 相对 CJK 字符宽度
5
  normal_width: 0.6        # 相对正常（等宽）宽度
6
  append_css: true         # 将 CSS 添加到每个页面
7
  every_page: true         # 如果为 true，那么无论每篇文章的前题中的 `mathjax` 设置如何，每页都将由 mathjax 呈现

接着必须把 Hexo 原先内置的 Markdown 渲染工具 hexo-renderer-marked 卸载，其次安装 hexo-renderer-pandoc 。

Terminal window

1
npm uninstall hexo-renderer-marked
2
npm install hexo-renderer-pandoc

此时你可以尝试启动 Hexo 本地服务器看看效果，如果执行到 hexo g 时报错，那么你需要额外安装一个开源项目 Pandoc，仓库地址为 Pandoc，最后启动 Hexo 服务器，可以看到所有 LaTeX 及数学公式都显示出来了。

最后祝大家避过所有坑，走向成功！

luogu-HXOI U332989-身高

Sun, 27 Aug 2023 14:12:54 GMT

原题链接

Algorithms: 倍增算法

依照题意，我们需要每次求出区间 [l,r][l, r][l,r] 中的最小值，再把他与小H 的身高 kkk 作比较。

但是看到数据范围，我们可以发现普通暴力的做法是绝对会超时的，所以考虑倍增算法，先用 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn) 的时间复杂度初始化，以后每次查询都只需要 O(1)O(1)O(1) 的时间复杂度。

StdStdStd

std.cpp展开收起

1
#include <iostream>
2
#include <cmath>
3

4
#define endl '\n'
5

6
using namespace std;
7

8
const int N = 1e6 + 5;
9
const int LN = log2(N) + 5;
10

11
int k, n, t;
12
int logx[N], f[N][LN];
13

14
inline void init() {
15
  logx[0] = -1;
16
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
17
    logx[i] = logx[i / 2] + 1;
18
  }
19

20
  for (int j = 1; j <= logx[n]; ++j) {
21
    for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) {
22
      f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
23
    }
24
  }
25
}
26

27
inline int query(const int &x, const int &y) {
28
  int j = logx[y - x + 1];
29
  return min(f[x][j], f[y - (1 << j) + 1][j]);
30
}
31

32
int main() {
33
  ios::sync_with_stdio(false);
34
  cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
35

36
  cin >> k >> n;
37
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
38
    cin >> f[i][0];
39
  }
40
  init();
41
  cin >> t;
42
  while (t--) {
43
    int l, r;
44
    cin >> l >> r;
45
    if (k >= query(l, r)) {
46
      cout << "Yes" << endl;
47
    } else {
48
      cout << "No" << endl;
49
    }
50
  }
51
}

展开收起

2023 TYOI 暑假集训游记

Sat, 26 Aug 2023 03:52:37 GMT

在一个温暖的八月，我有幸踏入了广州市某重点中学，开始了为期三周的集训之旅。这段充实而愉快的时光，让我感受到了知识的魅力和团队的力量，成为了我成长道路上的宝贵财富。

Activities#

Week 1#

第一周的集训，像是一个带着未知色彩的启程。初到广州市某重点中学，我对未来三周的集训生活充满了期待。阳光透过窗户洒在宿舍的桌椅上，一天新的开始即将展开。

我们的第一周以一种欢乐的氛围拉开了序幕。在星期一、三、五的早晨，我们聚集在教室，老师们为我们呈现了差分约束系统、强连通分量、割点与桥等知识的精彩世界。清晰的板书，引人入胜的例题，仿佛在一幅画卷中，我们逐步揭开了计算机算法的神秘面纱。而在课间，同学们互相讨论，不仅分享了自己的理解，也互相启发着新的思考。

而在星期二、四、六的机房时光中，我们的学习变得更加生动。机房里，键盘的敲击声交织成了一曲激情四溢的乐章。每一次的对决都是一次知识的比拼，也是友谊的升华。紧张的气氛中，我们不断解题、思索，时不时地传来阵阵欢笑声。这些时刻，既是对知识的挑战，也是对团队协作和应对压力的锻炼。

而在宿舍内的夜晚，我们的欢声笑语也不曾停歇。其中，有一晚，我们玩起了一种名叫UNO的牌游戏。昏黄的灯光下，桌上摆满了五彩斑斓的UNO牌，每一张都饱含着无限的乐趣。我们一边玩牌，一边聊天，分享着彼此的趣事和经历。那一刻，欢声笑语在宿舍内回荡，仿佛把紧张的学习氛围完全驱散了。游戏中的互动，让我们更加亲近，也为整个集训增添了一份轻松和温馨。

在这个渐渐熟悉的环境中，我们渐渐融入了集训的节奏。第一周的感受，就像是一篇绚丽多彩的开篇，铺展开了我们后续三周的精彩旅程。每一个细节，都刻画着我们的成长和情感，留下了难以磨灭的记忆。

Week 2#

第二周的集训，如同一幅迷人的风景画，充满了新奇和欢乐的元素。时光在指尖流转，我们仿佛被吸引进了一个无限精彩的世界。

周一的早晨，我们再度聚集在教室，迎来了全新的知识。这周，老师们为我们呈现了并查集、最小生成树等算法。沉浸在老师的讲解中，我们仿佛置身于一个精彩的故事中，一步步地探索着知识的边界。而这一周，课程的设置更注重实践，每天的新知识都将在接下来的比赛中得到应用，这种有机融合，让学习更有意义。

星期二的机房时间，我们的学习之旅延续了下去。在那个宽敞明亮的空间里，键盘的敲击声如同一支鼓点，引领着我们进入了算法的竞技场。每一次的比赛都是一次智力的对决，也是一次对自己实力的检验。解题、分析、优化，每一个环节都要经历思考与实践的交织。而与此同时，机房里也充满了友情的味道，同学们互相鼓励、互相帮助，营造出一种积极向上的氛围。

然而，这周的精彩不仅仅限于课程和比赛。一个令人难以忘怀的时刻发生在星期天的傍晚。有同学带来了扑克牌，我们在宿舍内展开了一场扑克牌的盛宴。灯光昏黄，桌上铺满了五彩斑斓的牌，我们激烈地角逐着，笑声和惊呼此起彼伏。这种不同寻常的娱乐，仿佛为我们带来了一份难得的轻松，让我们在紧张的学习之余也能享受一份欢乐。

然而，第二周的集训时光如流水般流逝，转瞬即逝。在我们短暂而美好的相处中，我们交流着知识，分享着快乐，共同创造了一段难以磨灭的记忆。这周的每一个瞬间，都成为了我心中最珍贵的宝藏，无论是课堂上的启发，还是机房内的拼搏，抑或是宿舍内的嬉笑，都在这幅风景画中留下了鲜明的一笔。

Week 3#

第三周的集训，如同一首深情的乐曲，渐入佳境。时间的脚步匆匆，我们似乎被吸引进了一个令人陶醉的梦境。

在这周初的清晨，我站在窗前，感受着微风轻拂，似乎能够察觉到知识的气息。周一的课堂中，我们仍然在学习有关最小生成树的更多内容。老师们的讲解让这些抽象的概念变得通俗易懂，每一个知识点都如同一颗珍珠，被我们串联成了一串美丽的项链。而在星期二、三、四、五，我们投入到了紧张的比赛中，每一场的角逐都是一次思维的碰撞，也是对前期学习成果的检验。

然而，正是在这周，我们更深刻地感受到了时光的宝贵。周二的傍晚，夕阳的余辉映照下，我们聚在一起，共同度过了最后的集体学习时光。教室里，灯光温柔，同学们笔耕不辍，互相督促，临近集训结束，我们都感受到了对这段时光的珍惜。

周三，我们迎来了最后一次的比赛。在机房内，键盘的声音仿佛弹奏出了一曲壮美的乐章，每一个解题的瞬间都充满了成就感。然而，与此同时，我也能感受到一丝淡淡的离别之情。每一次的比赛都像是一个节点，将我们从一个阶段引向了另一个。我看着同学们认真的表情，仿佛能够看到彼此在这段时光里的成长。

而在这个周末的傍晚，我们走进了一片草坪，展开了一场难忘的集体活动。欢声笑语中，我们一起跑步，一起参加各种有趣的游戏。其中，捕鱼游戏尤为引人注目。大家手拉手围成一张网，活跃在规定的区域内，捕捉着彼此。这个游戏不仅锻炼了我们的团队协作能力，也增强了彼此之间的亲近感。

随着最后一天的到来，集训的画卷也即将收尾。我们合了一张珍贵的合影，记录下了这段美好的时光。而在离别的时刻，我们用游戏、欢笑和拥抱，表达出对彼此的祝愿和惜别之情。这周的每一个瞬间，都让我感受到了时光的珍贵，也让我明白了珍惜友情和每一次相聚的重要性。

第三周的集训时光短暂而美好，就像是一首感人的乐章，用欢笑、汗水和泪水交织编织而成。在这个旅程的终点，我们不仅积累了知识，更培养了坚持、合作和珍惜的品质。这段时光，定会成为我心中难以磨灭的记忆，激励着我在未来的道路上不断前行，追求更高的目标。

Contests#

比赛	排名	分数	意外程度
2023 tyoi 普及模拟训练01	181818	190190190	0.50.50.5
2023 tyoi 普及模拟训练02	282828	260260260	0.70.70.7
2023 tyoi 普及模拟训练03	888	290290290	0.20.20.2
2023 tyoi 普及模拟训练（B—>C）	555	180180180	0.60.60.6
2023 tyoi 普及模拟训练04	262626	136136136	0.80.80.8
2023 tyoi 普及模拟训练05	333333	110110110	111
2023 tyoi 普及模拟训练06	313131	373737	0.40.40.4
2023 tyoi 普及模拟训练（B—>C）（LJY）	353535	140140140	0.70.70.7
2023 tyoi 普及模拟训练07	333333	202020	0.60.60.6
2023 tyoi 普及模拟训练08	444	220220220	0.30.30.3
2023 tyoi 普及模拟训练09	202020	100100100	0.40.40.4
平均	-	153153153	0.560.560.56
总和	-	168316831683	-

对于全部的11场比赛，我不是很满意，尤其是 2023 tyoi 普及模拟训练05，由于前三题开了文件读写没关，痛失300分……

在 2023 tyoi 普及模拟训练01 中，第三题本来应该是很简单的，但是我用了差分约束系统来解决，不仅多余，而且还没有AC。其次，在第二场比赛中，第四题是考我们的思维能力，需要我们去推理。

Knowledges#

差分约束系统。
强联通分量。
割点与桥。
并查集。
最小生成树。

Summary#

除了学术方面的提升，集训也让我在团队合作和人际交往中有了更多的收获。在这段时间里，我与同学们一起吃饭、玩游戏，分享着彼此的心得和快乐。每周的体育锻炼更是让我们更亲近，通过一起跑步、锻炼肢体，我们不仅保持了身体健康，还培养了团结协作的意识。体育锻炼期间的游戏，如捕鱼和翻扑克，更是增添了欢笑和友情。捕鱼游戏中，我们手拉手围成网，体验着协作的乐趣，这让我深刻地感受到了团队的力量。

回顾这三周的集训，我感受颇深。不仅在学术上有了显著的进步，更重要的是，我领悟到了团队协作、坚持不懈的重要性。在与同学们的交流中，我学到了很多解题技巧和方法，也结交了许多志同道合的朋友。这段集训经历不仅让我在算法领域有了更扎实的基础，也培养了我坚持学习和不断进步的精神。我相信，这些收获将伴随着我在未来的学习和生活中，为我铺就更加广阔的道路。

ChatGPT yyds…

luogu-HXOI-U331150-密室逃脱2

Fri, 25 Aug 2023 08:45:27 GMT

原题链接

Algorithms: 图论 最小生成树

不要看题面花里胡哨的，实际上它意思已经很明确了，就是让你在若干个站点存放 能量补给用具，使得能量能够扩散到图内每个站点。说到这里应该有些同学觉得，那我存放一个 能量补给用具 不就行了吗，这应该都能联通到每个站点啊。

警告

那其实你就大错特错了！

因为它还是要考虑消耗的体力最小啊，那这怎么办……

这时候就需要用上我们的最小生成树了！其实这道题只需要多建一个 0号虚拟节点，与其他各个节点相连，就不用考虑每个站点的消耗了，然后再跑一遍 KruskalKruskalKruskal 模板，就可以了。

StdStdStd

std.cpp展开收起

1
#include <iostream>
2
#include <algorithm>
3

4
using namespace std;
5

6
typedef long long ll;
7

8
struct Edge {
9
  int u, v, w;
10

11
  bool operator < (const Edge &A) const {
12
    return w < A.w;
13
  }
14
};
15

16
const int N = 2e3 + 5;
17
const int M = N * (N - 1);
18

19
int n, m, fa[N];
20
ll ans;
21
struct Edge e[M];
22

23
inline void init() {
24
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
25
    fa[i] = i;
26
  }
27
}
28

29
inline int find(const int &x) {
30
  return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
31
}
32

33
int main() {
34
  ios::sync_with_stdio(false);
35
  cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
36

37
  cin >> n;
38
  init();
39
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
40
    int v;
41
    cin >> v;
42
    e[++m].u = 0;
43
    e[m].v = i;
44
    e[m].w = v;
45
  }
46
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
47
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
48
      int w;
49
      cin >> w;
50
      if (i != j) {
51
        e[++m].u = i;
52
        e[m].v = j;
53
        e[m].w = w;
54
      }
55
    }
56
  }
57

58
  sort(e + 1, e + m + 1);
59
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
60
    int fu = find(e[i].u);
61
    int fv = find(e[i].v);
62
    if (fu != fv) {
63
      fa[fu] = fv;
64
      ans += e[i].w;
65
    }
66
  }
67

68
  cout << ans;
69
}

展开收起

oiClass-puji P1278-树和数tree

Fri, 25 Aug 2023 03:48:42 GMT

原题链接

Algorithms: 树结构

很水的一道题#

只需要判断如果 父节点的优先级 ≥\geq≥ 子节点的优先级 就需要加括号。

但是当给左节点加括号时，且父节点与左节点的优先级相同时，括号可以省略。

AcCodeAc CodeAcCode

AcCode.cpp展开收起

1
#include <iostream>
2

3
using namespace std;
4

5
const int N = 1e5 + 5;
6

7
int n, m, a[N], ans;
8
int g[N][2];
9

10
void dfs(const int &u) {
11
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
12
        int v = g[u][i];
13
        if (!g[u][i]) continue;
14
        if (a[v] <= a[u]) {  // 需要括号
15
            ++ans;
16
        }
17
        if (a[v] == a[u] && !i) {  // 可以省略
18
            --ans;
19
        }
20
        dfs(v);
21
    }
22
}
23

24
int main() {
25
    ios::sync_with_stdio(false);
26
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
27

28
    cin >> n >> m;
29
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
30
        int l, r, x;
31
        cin >> l >> r >> x;
32
        g[i][0] = l;
33
        g[i][1] = r;
34
        a[i] = x;
35
    }
36

37
    dfs(1);
38

39
    cout << ans;
40
}

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oiClass-puji P2112-征兵

Thu, 24 Aug 2023 04:08:30 GMT

原题链接

Algorithms: 最小生成树

一眼看出最小生成树#

赛时不小心把存边数组开大了，结果 MLE……

依照题意，我们可以把总点数看作是 N+MN+MN+M，边数最多有 RRR 条，边权为 10000−Vi10000 - V_i10000−Vi，为了给每个点一个编号，我们把女生编为 Xi+1X_i + 1Xi+1，男生编为 Yi+N+1Y_i + N + 1Yi+N+1。

因为可能不止一个需要单独征集的士兵，所以我们需要建立一个 0号 虚拟点，与全部其他节点相连，权值为 100001000010000 ，但这个时候边数最多就有 R+N+MR + N + MR+N+M 条了（注意数组大小）。

接下来跑一遍 KruskalKruskalKruskal 就可以了。

PS: 变量解释：

1
// t: T, x: N, y: M, r: R
2

3
// n: 总点数, m: 总边数
4

5
// cnt: 统计剩余点数目

AcCodeAc CodeAcCode

AcCode.cpp展开收起

1
#include <iostream>
2
#include <algorithm>
3

4
#define endl '\n'
5

6
using namespace std;
7

8
struct Edge {  // 存边结构体
9
  int u, v, w;
10

11
  bool operator < (const Edge &A) const {  // 重载排序运算符
12
    return w < A.w;
13
  }
14
};
15

16
const int N = 2e4 + 5;
17
const int M = 9e4 + 5;
18
const int ORGL = 1e4;  // 征集士兵原价 10000
19

20
int t, x, y, r;
21
int n, m, cnt, ans;
22
int fa[N];  // 并查集 fa 数组
23
struct Edge e[M];  // 存边数组
24

25
inline void init() {  // 多组数据，记得重置
26
  ans = cnt = m = 0;
27

28
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {  // 并查集初始化
29
    fa[i] = i;
30
  }
31
}
32

33
inline int find(const int &l) {  // 并查集 find
34
  return fa[l] == l ? l : fa[l] = find(fa[l]);
35
}
36

37
inline int gid(const int &l, const bool &girl) {  // 获取节点编号
38
  if (girl) {
39
    return l + 1;
40
  } else {
41
    return l + x + 1;
42
  }
43
}
44

45
int main() {
46
  ios::sync_with_stdio(false);
47
  cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
48

49
  cin >> t;
50
  while (t--) {
51
    cin >> x >> y >> r;
52
    n = x + y;
53
    init();
54
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
55
      int xi, yi, vi;
56
      cin >> xi >> yi >> vi;
57
      int xid = gid(xi, true);
58
      int yid = gid(yi, false);
59
      e[++m].u = xid;
60
      e[m].v = yid;
61
      e[m].w = ORGL - vi; // 边权为 10000 - Vi
62
    }
63

64
    // 虚拟 0 号节点
65
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
66
      e[++m].u = 0;
67
      e[m].v = i;
68
      e[m].w = ORGL;
69
    }
70

71
    // Kruskal 最小生成树
72
    sort(e + 1, e + m + 1);
73
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
74
      int fu = find(e[i].u);
75
      int fv = find(e[i].v);
76
      if (fu != fv) {
77
        fa[fu] = fv;
78
        ans += e[i].w;
79
        if (++cnt == n - 1) break;
80
      }
81
    }
82

83
    // 最终答案加上 剩余的一个点原价
84
    cout << ans + ORGL << endl;
85
  }
86
}

展开收起

luogu-HXOI U330374-密室逃脱

Wed, 23 Aug 2023 00:19:24 GMT

原题链接

Algorithms: 搜索 广搜，BFS

依照题意，不难发现这是一道很普通的广搜题，只不过是三维广搜。对于这种情况我们只需要添加 dx、dy 数组的值且再添加一个 dz 数组，值如下。

1
dz[6] = {-1, 1, 0, 0, 0, 0};
2
dx[6] = {0, 0, -1, 0, 1, 0};
3
dy[6] = {0, 0, 0, 1, 0, -1};

在此题中，我们发现除了正常广搜之外，还有两个要点：

小H 拥有一些体力值，某些时候会需要消耗体力拆卸陷阱；
小H 手上的钥匙数量会变化，且可能会有需要钥匙开门的时候。

虽然题面看上去很复杂，但我们只需要仔细分析，其实可以发现：

当小H 有足够的体力时，那么必须拆卸陷阱，否则不将当前状态入队。
当小H 受伤有足够的钥匙时，那么必须开门，否则不将当前状态入队。

这样一来，我们广搜中也只是多了两个分支结构。

StdStdStd

std.cpp展开收起

1
#include <iostream>
2
#include <queue>
3

4
#define endl '\n'
5

6
using namespace std;
7

8
struct Node {
9
  int z, x, y, t, k, v;
10
};
11

12
const int H = 165;
13
const int N = 405;
14

15
int h, n, m, v, w;
16
int a[H][N][N], sz, sx, sy;
17
queue<Node> q;
18
bool inq[H][N][N];
19
int dz[6]{-1, 1, 0, 0, 0, 0}, dx[6]{0, 0, -1, 0, 1, 0}, dy[6]{0, 0, 0, 1, 0, -1};
20

21
int bfs() {
22
  int k = a[sz][sx][sy] == 5 ? 1 : 0;
23
  q.push({sz, sx, sy, 0, k, v});
24
  inq[sz][sx][sy] = true;
25
  Node p;
26

27
  while (q.size()) {
28
    p = q.front();
29
    q.pop();
30

31
    for (int i = 0; i < 6; ++i) {
32
      int nz = p.z + dz[i];
33
      int nx = p.x + dx[i];
34
      int ny = p.y + dy[i];
35
      int nt = p.t + 1;
36
      int nk = p.k;
37
      int nv = p.v;
38

39
      if (nz < 1 || nz > h) continue;
40
      if (nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m) {
41
        return nt;
42
      }
43
      if (inq[nz][nx][ny]) continue;
44
      if (a[nz][nx][ny] == 2) continue;
45
      if (a[nz][nx][ny] == 3) {
46
        if (nv >= w) {
47
          nv -= w;
48
        } else {
49
          continue;
50
        }
51
      } else if (a[nz][nx][ny] == 4) {
52
        if (nk) {
53
          --nk;
54
        } else {
55
          continue;
56
        }
57
      } else if (a[nz][nx][ny] == 5) {
58
        ++nk;
59
      }
60

61
      q.push({nz, nx, ny, nt, nk, nv});
62
      inq[nz][nx][ny] = true;
63
    }
64
  }
65

66
  return 0;
67
}
68

69
int main() {
70
  ios::sync_with_stdio(false);
71
  cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
72

73
  cin >> h >> n >> m;
74
  cin >> sz >> sx >> sy;
75
  cin >> v >> w;
76
  for (int k = 1; k <= h; ++k) {
77
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
78
      for (int j = 1; j <= m; ++j) {
79
        cin >> a[k][i][j];
80
      }
81
    }
82
  }
83

84
  int ans = bfs();
85
  if (!ans) {
86
    cout << "No";
87
  } else {
88
    cout << "Yes" << endl;
89
    cout << ans;
90
  }
91
}

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