看透多动点的本质——旋心

构造旋心是部分中考几何题的通用方法，学习后将有助于提升中考压轴题的做题效率。

旋心又称“相似不动点”，构造旋心解题的这类方法又被称作“逆瓜豆原理”。

引入

毕竟旋心也被叫做相似不动点，那么我们来看一下是如何构造相似的：

如图是两条线段 、，要求在平面内作一点 ，使得 . （可以尝试在图上画一画）

聪明的你肯定发现，直接找一点 不那么容易，所以你选择了从已知事物出发，开始研究起了旋转相似。

由旋转相似，不难发现 ，于是你延长了 和 交于一点 ，然后得出 四点共圆，并且进一步推出 四点也共圆。所以你选择在原来的题目上做出如下操作：延长 交于点 ，并分别做出 和 的外接圆相交于另一点 。

对，你就是发现了其中的规律，点 就是旋转中心！连接剩余的4条边，便得到两个相似三角形。

完美，接下来还有一道类似的题：在如下平面上作出一点 ，使得 .（再尝试画一画）

你也肯定发现了，做法与上一道题十分相似，还是首先找到两条线段所在直线交点，记为 。

需要注意的是，这次相似中的第二个三角形对应点调换了一下，那么思路也变换一下，分别作 和 的外接圆，其交点就是我们要的点 ！

那——如何证明呢？

虽然图的样子变了，但是仔细观察，还是可以发现图中有两个圆内接四边形 和 ，只不过不在同一个圆中，那么事情就好办了，它们有公共角 ，所以它的对角都相等，即 ，减去公共角 ，可得 。第一组角相等有了，第二组也显而易见：在圆内接四边形 中，有 ，证毕！

其实按照这个方法，在另一个圆内接四边形中还有第三组角相等，只是我们不需要罢了。

为了使这样构造相似的方法更加通用，我们给予如下形式的定义：对于平面内任意两条有向线段 和 ，两始点与平面内另一点 构成的夹角 等于两条有向线段的夹角 ，两终点与该点 构成的夹角 也等于 ，则该点 即为有向线段 和 的旋心（相似不动点）。

有向线段的夹角即引入题 1 中的 和引入题 2 中的 的补角，由两条有向线段的方向确定。

精讲

了解完旋心的定义，可以尝试思考一下：构造旋心这一手段在题目中有什么用呢？

欸，很对同学的第一反应应该是逆等线的题目吧，那么刚好，我们来看一道逆等线最值的经典题目。

【例题 1】 如下图，已知 ，，点 在线段 上，且 ，求线段 的最小值。

这道题就是逆等线标准的模型题，如果说利用逆等线模型来解，大概是这样：

即构造三角形全等，，得到定边 和定角 ，定弦定角出定圆，最后一箭穿心即可。

当然了，这种题对于用旋心解法也是小菜一碟，为了找到旋心 ，需要先找到两个有向线段 和 ，它们的夹角 ，所以先作出 的外接圆 ，并在 上找一点，使得该点到 和 的距离相等。这时候我们就会发现该前提下有两个符合条件的点，那我们取哪一个呢？其实这里我们直观感受一下即可，当该点在 下方时会发现无法构造出旋转相似，所以 上方的点就是我们所需要的旋心 。

在你找到了旋心之后，整道题就已经完成一半了。不难发现我们所构造的旋心 是一个定点，又由旋转全等，就可以利用瓜豆原理来求出点 的运动轨迹了，怎么样？是不是很直接，自然而然地答案就摆在了眼前，图解如下。

所以这道题的最终答案为：当 三点共线时，。

那么我们这里就可以总结一下利用旋心解题的两大步骤：

1. 构造定角（例题 1 中的 ）
2. 构造边成定比（例题 1 中的 ）

需要注意的点是：这样的构造方式通常会有两个符合条件的点，需根据题意排除其中一个。

练习

作为旋心篇章的末尾，这里整理了3道有意义的几何题，并且都可以利用旋心来解决，期待你精彩的解法！

【习题 1】 如图，在 中，，， 在线段 上且 ，，若 且点 在线段 上，求 扫过的面积。

【习题 2】 如图，在等边 中， 分别是边 上的动点，且 ，若 ，求 的最小值。

【习题 3】 如图，平面内有四个点 ，，， 是线段 上一动点，且满足 ，，求 的最小值。

小结

总而言之，构造旋心是一类几何题的通用解法，但切记不要滥用，毕竟任何事物都是有双面性的，在思路简单无脑的同时换来的是大于其他几何做法的计算量和更加复杂的图示和解题步骤，所以博主这里建议如果一道题能够用其他更清晰明了的几何方法解决就不要用旋心来解决，不过平时做题用旋心来唤醒一下沉睡的几何思维也是可以的。

关于旋心的篇章就先到这里了，这可是花费了博主不少心血才做出来的成品啊。

上面留了3道习题，大家可以尝试着做一做，答案会在后期另篇发布。当然，也许你会发现难度与例题相差甚远，但这正是锻炼我们大脑的好机会呀，期待各位的精彩解答！

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