【实用技巧】 如何解决双重根式化简

模型分析及证明#

首先观察原式，有 $a,b$ 为正有理数，亦可知 $S$ 化简后应为 $\sqrt{m}\pm\sqrt{n}$ 的形式，且 $m,n$ 为正有理数，那么我们可以令 $\sqrt{m}\pm\sqrt{n}=\sqrt{a\pm\sqrt{b}}$

等式两边同时平方即得 $m+n\pm2\sqrt{mn}=a\pm\sqrt{b}$

因为 $m,n,a,b$ 都为正有理数，所以不妨令 $\begin{cases}m+n=a,\\\pm2\sqrt{mn}=\pm\sqrt{b}\end{cases}$ （待定系数法）

化简即 $\begin{cases}m+n=a,\\mn=\frac{b}{4}\end{cases}$

看到这样一个方程组，想必大家都很熟悉，这不就是韦达定理么。

所以下一步是构造一个关于 $x$ 的一元二次方程，使 $m,n$ 为其两根，则有 $\begin{aligned}x^2-ax+\frac{b}{4}=0\end{aligned}$

其判别式为 $\begin{aligned}\Delta =(-a)^2-4\times 1\cdot \frac{b}{4}=a^2-b\end{aligned}$

则 $\begin{aligned}x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2\times 1}\end{aligned}$，得 $\begin{aligned}m=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2},n=\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\end{aligned}$

因为 $m,n$ 为正有理数，所以条件为判别式 $\Delta=a^2-b$ 为一个有理数的平方

最后即可得 $\begin{aligned}\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\end{aligned}$

例题精讲#

接下来我们看几道例题。

1. 化简 $\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ .

   $解：由题，知\Delta=8^2-4^2\times3=16$

   $\begin{aligned}\therefore 原式&=\sqrt{\frac{8+\sqrt{16}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{16}}{2}}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{aligned}$

2. 化简 $\sqrt{7-3\sqrt{5}}$ .

   $解：由题，知\Delta=7^2-3^2\times 5=4$

   $\begin{aligned}\therefore 原式&=\sqrt{\frac{7+\sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{4}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\\&=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}\end{aligned}$

习题检验#

最后，给大家留几道习题。

1. 判断 $\sqrt{5+2\sqrt{5}}$ 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.
2. 判断 $\sqrt{37-12\sqrt{7}}$ 能否被化简：若能，则写出化简后的结果；若不能，请说明理由.
3. 已知 $\cos\theta=\frac{3\sqrt{2}}{5}$，运用公式 $\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$，计算 $\tan(90\degree -\frac{\theta}{2})$ 的值.

习题的过程及答案将会另篇揭晓，留心关注哦~