浅谈圆幂定理

考虑到有的同学可能没有了解过圆幂定理，特地花此篇章简易说明，更详细的内容请自行查阅互联网。

圆幂定理在网上的说法很纷杂，各种教科书上的表述也不尽相同。这里取其中常见的一种说法来讲解。

即圆幂定理是相交弦定理、切割线定理和割线定理三者的统一。

前置知识#

在后文对切割线定理的证明叙述时需要利用弦切角定理，故在此予以证明。

顾名思义，弦切角定理的内容应该与圆上一弦和切线的夹角有关，以下先给出其定义。

（弦切角定理） 平面上有一个圆心为 $O$ 、半径为 $r$ 的圆， $\odot O$ 外有一点 $P$ ，过点 $P$ 的直线切 $\odot O$ 于点 $T$ ，在 $\odot O$ 上取点 $A,B$ ，连接 $AB,AT,BT$ ，则有 $\angle ATP=\angle ABT$ ，如图所示.

证明如下。

\begin{align} &延长AO交\odot O于点C，连接OT,CT.\\ &\because 点P切\odot O于点T\\ &\therefore\angle OTP=90\degree\\ &\because AC为直径\\ &\therefore\angle ATC=90\degree\\ &\therefore\angle OTP=\angle ATC\\ &即\angle OTP-\angle ATO=\angle ATC-\angle ATO\\ &\therefore\angle ATP=\angle OTC\\ &\because OC=OT\\ &\therefore\angle OCT=\angle OTC\\ &又\because\angle OCT=\angle ABT\\ &\therefore\angle ATP=\angle ABT \end{align}

定义#

我们可以先来看点对圆的幂。

平面内有一 $\odot O$ ，其半径为 $r$ ，对平面上任意一点 $P$ ，记 $\mathrm{Pow}(P)=OP^2-r^2$ 为点P对 $\odot O$ 的幂。

通过这个定义，我们知道任意点对圆的幂可为正负零，还可以推出点对圆的幂与该点和圆的位置关系：

$\mathrm{Pow}(P)=OP^2-r^2\left\{\begin{aligned}&>0\iff点P在\odot O外\\&=0\iff点P在\odot O上\\&<0\iff点P在\odot O内\end{aligned}\right.$

当然也有一个很显然的结论： $\mathrm{Pow}(P)=\mathrm{Pow}(Q)\iff OP=OQ$ .

由此一来，圆幂定理就可以这样表述：

（圆幂定理） 给定 $\odot O$ 和点 $P$ ，过点 $P$ 作 $\odot O$ 的任意一条割线（或切线） $PAB$ 与 $\odot O$ 分别交于 $A,B$ ，则 $\overline{PA}\cdot\overline{PB}$ 是一个常量，而这个常量正是点 $P$ 对 $\odot O$ 的幂，即 $\overline{PA}\cdot\overline{PB}=\mathrm{Pow}(P)$ .

证明#

Ⅰ.相交弦定理#

（相交弦定理） 如图所示，点 $P$ 在 $\odot O$ 内部， $AB,CD$ 为过点 $P$ 的两条弦，则有 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ .

证明如下。

\begin{align} &连接AD,BC.\\ &在\odot O中，\angle ADC=\angle ABC\\ &即\angle ADP=\angle CBP\\ &又\because\angle APD=\angle CPB\\ &\therefore\triangle APD\backsim\triangle CPB\\ &\therefore\frac{AP}{CP}=\frac{PD}{PB}\\ &即PA\cdot PB=PC\cdot PD \end{align}

那为什么会满足 $\mathrm{Pow}(P)=-PA\cdot PB=-PC\cdot PD$ 呢？

请读者看到第二幅图，当弦 $CD$ 为直径（即 $C_1D_1$ ）时， $P_1C_1\cdot P_1D_1=(O_1C_1-O_1P_1)(O_1D_1+O_1P_1)=(r-O_1P_1)(r+O_1P_1)=r^2-{O_1P_1}^2$ ，这里简单利用平方差公式，然后得到 $-P_1A_1\cdot P_1B_1={O_1P_1}^2-r^2=\mathrm{Pow}(P)$ ，即

\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=-PA\cdot PB=-PC\cdot PD}}

我们也可以由此得知对于任意在圆内的点 $P$ ，其对该圆的幂为常量。

Ⅱ.切割线定理#

（切割线定理） 如图所示，点 $P$ 在 $\odot O$ 外， $PB$ 为过点 $P$ 的割线， $PT$ 为过点 $P$ 的切线，则有 $PA\cdot PB=PT^2$ .

证明如下（这里就需要用到上文前置知识所讲的弦切角定理来进行证明了）。

\begin{align} &连接AT,BT\\ &在\odot O中，由弦切角定理\\ &得\angle ATP=\angle ABT\\ &又\because\angle P=\angle P\\ &\therefore\triangle APT\backsim\triangle TPB\\ &\therefore\frac{AP}{TP}=\frac{PT}{PB}\\ &即PA\cdot PB=PT^2 \end{align}

同上一类的相交弦定理，切割线定理与圆幂定理的联系就看第二幅图的特殊情况：割线 $P_1B_1$ 经过点 $O_1$ ，同样利用平方差公式，可得

\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=PA\cdot PB=PT^2}}

Ⅲ.割线定理#

（割线定理） 如图所示，点 $P$ 在 $\odot O$ 外， $PB,PD$ 为过点 $P$ 的两条割线，则有 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ .

证明如下。

\begin{align} &连接AD,BC\\ &在\odot O中，\angle ADC=\angle ABC\\ &即\angle ADP=\angle CBP\\ &又\because\angle P=\angle P\\ &\therefore\triangle ADP\backsim\triangle CBP\\ &\therefore\frac{AP}{CP}=\frac{DP}{BP}\\ &即PA\cdot PB=PC\cdot PD \end{align}

与前两类相同，通过平方差公式，再结合图形的特殊情况，即 $P_1B_1$ 为过点 $O_1$ 的割线，则有

\large{\color{red}{\mathrm{Pow}(P)=PA\cdot PB=PC\cdot PD}}

总结#

通过以上的讲解，大家应该都理解了这三大定理和圆幂定理的内容了。圆幂定理的应用常见于一些有关圆中线段转化或最值问题的几何题中，这些题目中运用圆幂定理有时可以迅速抓住解题关键，事半功倍！cdn

浅谈圆幂定理

前置知识#

定义#

证明#

Ⅰ.相交弦定理#

Ⅱ.切割线定理#

Ⅲ.割线定理#

总结#

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