浅谈圆幂定理

考虑到有的同学可能没有了解过圆幂定理，特地花此篇章简易说明，更详细的内容请自行查阅互联网。

圆幂定理在网上的说法很纷杂，各种教科书上的表述也不尽相同。这里取其中常见的一种说法来讲解。

即圆幂定理是相交弦定理、切割线定理和割线定理三者的统一。

前置知识

在后文对切割线定理的证明叙述时需要利用弦切角定理，故在此予以证明。

顾名思义，弦切角定理的内容应该与圆上一弦和切线的夹角有关，以下先给出其定义。

（弦切角定理）平面上有一个圆心为、半径为的圆，外有一点，过点的直线切于点，在上取点，连接，则有，如图所示.

证明如下。

$延长交于点，连接点切于点为直径即又$

我们可以先来看点对圆的幂。

平面内有一，其半径为，对平面上任意一点，记为点P对的幂。

通过这个定义，我们知道任意点对圆的幂可为正负零，还可以推出点对圆的幂与该点和圆的位置关系：

$点在外点在上点在内$

当然也有一个很显然的结论：.

由此一来，圆幂定理就可以这样表述：

（圆幂定理）给定和点，过点作的任意一条割线（或切线）与分别交于，则是一个常量，而这个常量正是点对的幂，即 .

（相交弦定理）如图所示，点在内部，为过点的两条弦，则有 .

证明如下。

$连接在中，即又即$ 那为什么会满足呢？

请读者看到第二幅图，当弦为直径（即）时，，这里简单利用平方差公式，然后得到，即

我们也可以由此得知对于任意在圆内的点，其对该圆的幂为常量。

（切割线定理）如图所示，点在外，为过点的割线，为过点的切线，则有 .

证明如下（这里就需要用到上文前置知识所讲的弦切角定理来进行证明了）。

$连接在中，由弦切角定理得又即$ 同上一类的相交弦定理，切割线定理与圆幂定理的联系就看第二幅图的特殊情况：割线经过点，同样利用平方差公式，可得

（割线定理）如图所示，点在外，为过点的两条割线，则有 .

证明如下。

$连接在中，即又即$ 与前两类相同，通过平方差公式，再结合图形的特殊情况，即为过点的割线，则有

通过以上的讲解，大家应该都理解了这三大定理和圆幂定理的内容了。圆幂定理的应用常见于一些有关圆中线段转化或最值问题的几何题中，这些题目中运用圆幂定理有时可以迅速抓住解题关键，事半功倍！

您已读完整篇文章~

欢迎随时光顾本站，如您愿意麻烦留步支持一下~